Математические зарисовки ⇐ Другие темы о русской словесности и культуре

[rusak]

Ясно. Я тоже с этого после института начинал. В кабинете Голдобенко вел такие же рутинные отчеты. Потом в науку направили.

[rusak]

35.

Не знаю, публиковал ли на этом форуме решение системы нелинейных уравнений. Вроде бы показывал в какой-то теме диплом-награду за первый в моей жизни успех на поприще математики. И все же повторить такое очень не мешало бы. Кажется невероятным, но через десяток лет, занимаясь вопросом теории упругости пространственных плит, пришел практически к такой же системе. А решение, - вон оно!, - висело прямо передо мной в добротной советской раме. Такие везения бывают, наверное, раз в жизни. Удивляюсь до сих пор: как мне удалось так лихо справиться? Припоминаю, однако, что без мудрых советов М.И.Сканави (а сидели мы в его кабинете несколько вечеров допоздна), не знаю, не знаю... Хватило ли мне терпения тогда, на первом курсе, втором семестре?... Ведь даже сейчас ни Вольфрам, ни Maple ничего похожего, безо всяких комплексных чисел мне не преподносят...
Но не буду больше ля-ля разводить, а приглашаю на просмотр небольшой, но яркой жемчужинки:

[daslex]

об интересных расчетах и исследованиях?

Здесь бы Дональд Кнут покуражиться мог.

[rusak]

daslex, книга Кнута "Искусство программирования" - это моя настольная шедевралочка. Не говорю уже о "Справочнике по математике". В нем такие волшебные аппроксимации! Именно они вдохновили меня на полеты во сне и наяву в страну формул и чисел.

[rusak]

36.

Сколько лет после школы живу, столько восхищаюсь таблицей Паскаля, при помощи которой легко-легко находятся коэффициенты знаменитого бинома Ньютона. И по мере возможностей пытаюсь использовать подобное удобное представление в иных степенных выражениях. Например, нам нужно раскрыть выражение для косинуса, скажем, в десятой степени. Вольфрам, конечно даст. А если вы находитесь в глуши, где глушат интернет? Как тогда быть?
Тогда можно применить мою таблицу. Показываю ее и после дам пару примеров, чтобы понимать, как ею пользоваться, сидя на пеньке:



Вид тождества зависит от четности степени n, поэтому даю два примера:



Думаю, любой из нас поймет: как из таблицы формируется нужная формула.
Проверить правильность тождеств можно прямо сейчас в Maple:

Код: Выделить всё

simplify(cos(x)^9-1/2^8*(126*cos(x)+84*cos(3*x)+36*cos(5*x)+9*cos(7*x)+cos(9*x)));
simplify(cos(x)^10-1/2^9*(210*cos(2*x)+120*cos(4*x)+45*cos(6*x)+10*cos(8*x)+cos(10*x)+126));

В обоих случаях получим верные нули.
[/color]

[rusak]

37.

Когда анализирую свою деятельность в науке, то наибольшее количество времени и сил посвятил теории вероятностей, а конкретней - законам распределения случайных величин. Исследуя многие природные процессы, такие как скорость ветра, высота волн, объем осадков, периоды штормов, землетрясений, извержений вулканов, оползней, селей и так далее, пришел к выводу, что популярные законы распределения (биноминальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона. Вейбулла, Пирсона, Гаусса, Стьюдента, Фишера-Мнедокора и др.) хорошо работают в довольно узких рамках упомянутых явлений. Где-то хорош Вейбулл, а где-то безупречен Гаусс. Многое в математике зависит от гибкости применяемой формулы и количества независимых параметров. Неудовлетворенность качеством аппроксимации натурных данных известными формулами заставила меня искать наиболее удобную и универсальную структуру математического выражения для описания функции плотности вероятности распределения случайной величины. Под удобством прежде всего понимается простота интегрирования этой математической конструкции с целью нахождения функции обеспеченности Р. Но не буду мучить форумчан терминами а покажу распределение Александрова:



Сегодня встал в пять утра и решил на деле показать успешность моего продукта. По ссылке
http://www.conceptdraw.com/solution-par ... OOL_7BASIC
наугад взял гистограмму и довольно точно вычислил проценты над каждым столбиком:



Гистограмму выбрал явно несимметричную, но довольно гладкую, что говорит о достаточно большой статистике наблюдений (наверняка - десятки тысяч).

Создал текстовой файл с именем "wind.txt"
(первое число - номер столбца гистограммы, второе - процент, переведенный в долю от единицы)

Код: Выделить всё

1 0.027
2 0.052
3 0.073
4 0.089
5 0.098
6 0.101
7 0.098
8 0.092
9 0.083
10 0.07
11 0.057
12 0.046
13 0.035
14 0.026
15 0.019
16 0.013
17 0.009
18 0.006
19 0.004
20 0.002

Далее методом Монте-Карло нашел 4 оптимальных параметра распределения Александрова. Программа на Yabasic совсем детская:

Код: Выделить всё

open #1,"wind.txt","r"
dim x(100),y(100),f(100):z=.01
for i=1 to 20:input #1 x(i),y(i):next i
a0=-1:b0=1:c0=1:d0=1:s1=10^100:nn=10000000
for j=1 to nn:a=a0*(1+z*(ran()-.5)):b=b0*(1+z*(ran()-.5))
c=c0*(1+z*(ran()-.5)):d=d0*(1+z*(ran()-.5)):s=0
for i=1 to 20:x=x(i)
f(i)=-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d))
s=s+(y(i)-f(i))^2:next i:if s<=s1 then:print a,b,c,d,s:s1=s
if s<0.00001 then z=0.0001:fi
a0=a:b0=b:c0=c:d0=d
fi:next j

После десяти миллионов циклов были рассчитаны оптимальные параметры:
a=-0.01362 ; b=1.8366 ; c=0.001 ; d=0.1649

Сумма квадратов отклонений по 20 точкам равна 0.00000437. Это отличный результат для натурных наблюдений!
Теперь осталось сопоставить полученную функцию f с гистограммой. Составим в Maple прогу:

Код: Выделить всё

with(plots):a := -.01362; b := 1.8366; c := .001; d := .1649;data:=[[1,.027],[2,.052],[3,.073],[4,.089],[5,.098],[6,.101],[7,.098],[8,.092],[9,.083],[10,.07],[11,.057],[12,.046],[13,.035],[14,.026],[15,.019],[16,.013],[17,.009],[18,.006],[19,.004],[20,.002]]: g1:=plot(-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d)), x = 0 .. 20, thickness = 1):g2:=pointplot(data,symbol = box):display([g1,g2]);

Выводим результат:



Скажу честно: до настоящей минуты еще не знал, что высветит монитор. Теперь всё позади! Думаю, должна начаться немая сцена из спектакля "Ревизор"... Пятиминутная сцена, после которой непременно полетят в потолок, чепчики.[/color]

[rusak]

38.

В процессе математического моделирования встала задача: одной, но максимально короткой формулой, описать следующую последовательность целых положительных чисел:

1,1,1, 2,2,2, 3,3,3, 4,4,4, 5,5,5,…, n,n,n

Ряды Фурье не помогли и потому пришлось думать на школьном уровне. Сделал ступенчатый график в виде прямых линий:



Вот, важно придумать нечто подобное, но не кусочную функцию, а плавную - без ломаных узлов. И чтобы точно проходила через желтые точки. Вроде бы все понятно и просто, а как эту простоту одолеть - неясно. Понял только одно: нужно получить функцию в виде суммы трех членов. Стал на листочке конструировать различные блоки и пришел к такой возможной схеме:



По-научному это - суперпозиция. Смотрим: когда k=1, то первая дробь есть единица и должно быть, чтобы f=1 ; p=0 ; q=0. Далее, когда k=2, то уже вторая дробь есть единица и должно быть, чтобы f=0 ; p=1 ; q=0. Когда же k=3, то третья дробь есть единица и должно быть, чтобы f=0 ; p=0 ; q=1. С последующим увеличением k описанные три цикла повторяются. Следовательно, f, p, q по сути - периодические тригонометрические функции. Их и надо найти.
Не буду утомлять читателей длительным процессом поисков, скажу только, что пришлось решать три системы тригонометрических уравнений и находить девять точных параметров. В итоге получил желаемые функции:



Посмотрим, как интересно они работают:



Смотрим на эти три синусоиды: при k=1 первая функция принимает значение 1, вторая и третья обнуляются. Все, как и задал в системе. То же самое наблюдаем и при k=4. Все верно! Видно невооруженным глазом.
Осталось теперь вставить в уравнение (1) наши функции (2)-(4) и упростить результат. В итоге:



Можно еще упростить функцию y и привести ее к косинусу:



Красота! Компактно и абсолютно точно.

[rusak]

39.

Часто слышу от своих коллег, приятелей, учеников, особенно от женщин: мол, зря до потери пульса грызли гранит королевы науки. Она, мол, ни разу в жизни не пригодилась. Я думаю, что это суждение в корне неверно. Хотя бы потому, что приходится выбирать цены на тот или иной товар, надо считать деньги, контролировать хитрых кассирш в торговых центрах. Кто внимательно не занимается маркетингом в бытовом масштабе, тот неминуемо переплачивает минимум десять процентов. Это не моя мысль - это где-то читал интервью с умным экономистом. Возможно - с Сергеем Алексашенко. В моем случае другая крайность. В сознательной жизни максимум рвений проявляю в равных долях как на поприще живописи, так и математических изысканий. Почему-то очень часто приходится даже в обыденных ситуациях брать интегралы и замечательные пределы. Вот только свежий случай летом прошлого года. Мой близкий друг по Борис Я. обрел вид на жительство в Италии и занимался капитальным ремонтом дома на берегу моря. На первом этаже заменил только входную дверь



На втором этаже, точно над этой дверью запланировал установить окно с аналогичной внешней формой. Эскиз контура:



Верх окна - точный полукруг. Ему нужно было найти такие x и y, при которых общая площадь окна стала бы наибольшей. Чтобы больше солнечного света проходило в комнату. Меня его задача удивила своей неопределенностью. Ведь зачем что-то вычислять, если делай окно таким большим, насколько позволяет площадь стены. Хотя бы с точки зрения эстетики и гармонии. Стал Борису задавать дополнительные вопросы. И вот что оказалось. Его дед еще до второй мировой войны приобрел за немалые деньги шестьдесят брусков из очень редкой древесины: лунного эбена. Размер каждого бруска 18 x 4 x 4 см. Борис распилил вдоль все бруски на пластины размером 18 x 4 x 1 см. Не он лично, а мастера на заводе. Итого получилось 180 штук. Их мне показал и две я сообразил сфокать на мобильник:



Здесь еще не отполированные пластины и видны хорошо следы фрезы. Надо сказать, что каждая пластина - нереально плотная и тяжелая, будто держишь не дерево, а мрамор. Только обрабатывать мрамор намного легче. По словам Бориса, когда каждый брусок делили двумя распилами, то в итоге потупили семь прочнейших дисков. После полировки одной из пластин, размеры стали следующими; 17.9 x 3.9 x 0.9 см. И вот эти бесценные деревяшечки должны стать обрамлением проема окна. Черный контур на втором рисунке - это по сути торцы пластин шириной 3.9 см и толщиной 9 миллиметров. А уже к ним как-то будет крепиться буковая оконная рама. Она без петель, крепится наглухо, а для проветривания комнаты предусмотрена форточка в середине рамы.
Итак мне стало очевидным одно существенное ограничение: периметр оконного проема P , равный ширинам 180 пластин, составляет величину 702 см. Борис утвердительно согласился.
Уже после этого можно говорить, что появилась задача. Попробуем составить математическую модель. Сначала в общем виде. Если удастся найти формулы, то подставим числовые значения. Итак, модель:



Ясно, как день, что полная высота окна h = x.

Теперь легко найти и максимальную площадь окна:



Таким образом, все необходимые формулы готовы. Мы с Борисом начали конкретные расчеты. Получились такие результаты:

P = 7.02 м ; x = 1.966 м ; y = 0.983 м ; S(max) = 3.45 кв.м.

Хозяина дома результаты полностью устроили.
-------------------------
PS. Задали вопрос: как догадаться что экстремум - это максимум, а не минимум?
Я это определил, конечно, по второй производной (метод "зонтика" помните?). Но можно и графически показать:

[rusak]

40.

Самые известные и интересные самые математические константы, - вне всякого сомнения, - пи и е. Вот они с немножко большой точностью:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000

В школе, в институте и даже в аспирантуре очень увлекался ими и делал серьезные попытки найти лучшие приближенные представления из радикальной комбинации целых чисел. В итоге получились следующие шедеврики:



Спустя уже много лет узнал, что такими вещами увлекался также индийский гений Рамануджан:



Его приближение числа пи, которое я обнаружил в инете совсем недавно, следующее:



Интересно, что и у меня и у Рамануджана точность приближения числа пи одинаковая - десять первых цифр.
Зато число e в моем исполнении имеет верные аж одиннадцать цифр.
Но это только присказка. Настоящая драма была впереди. Когда узнал о рамануджановском приближении числа пи, то выяснил, что несмотря на одинаковое количество верных чисел, мой вариант все же уступал на миллиметр. А хотелось превзойти во что бы то ни стало! Сколько же мне пришлось повозиться с различными радикалами! Но никак не удавалось вырвать победу. Впечатление было такое, что гений цепных дробей нашел самый глобальный оптимум.
Тогда пришла мысль отказаться от радикалов и использовать лишь числовые полиномы. Примерно такого вида:



Неделя ушла на бесконечные расчеты. И неожиданно удалось получить желанное по проге

Код: Выделить всё

s=0.000001:n1=1:n2=30
for a=10 to 18:for b=5 to 12:for c=10 to 15:for d=25 to 30
for v=10 to 15:for w=5 to 10:for t=10 to 15:for r=10 to 70
p=(a^5+b^5-c^3+d)/(v^5-w^5+t^3+r)
if abs(p-pi)<s then s=abs(p-pi):print a,b,c,d,v,w,t,r,p using "#.#############",abs(p-pi)
fi:next r:next t:next w:next v:next d:next c:next b:next a

. Приближение оказалось довольно необычным:



Здесь одиннадцать верных первых чисел! На порядок превзошел индуса!

С точки зрения арифметики разницы никакой нет. У Рамануджаны дробь:

3184.084238/(1013.525491)

У меня:

1146408/364913

Такая вот интересная зарисовка.

[rusak]

41.

Благодаря данной теме, со мной связался специалист по имитационному моделированию. Попросил аппроксимировать функцию плотности вероятности с правосторонней асимметрией. Пишет докторскую диссертацию. Гистограмму прислал - она построена по десяти тысячам точек наблюдений:



При помощи Yabasic методом Монте-Карло нашел оптимальные четыре параметра распределения Александрова (формулу см. в "Математической зарисовке" № 37). Текст проги:

Код: Выделить всё

open #1,"gist.txt","r"
dim x(100),y(100),f(100)
for i=1 to 20:input #1 x(i),y:y(i)=y/9999:next i
a0=-1:b0=1:c0=1:d0=1:s1=10^100:nn=50000000:z=.01
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-.5)):b=b0*(1+z*(ran()-.5)):c=c0*(1+z*(ran()-.5)):d=d0*(1+z*(ran()-.5))
s=0:for i=1 to 20:x=x(i)
f(i)=-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d))
s=s+(y(i)-f(i))^2:next i
if s<=s1 then:print a,b,c,d,s:s1=s:a0=a:b0=b:c0=c:d0=d:fi:next j

В Maple сделал сопоставление экспериментов с аппроксимацией (параметры распределения видны в самом начале текста):

Код: Выделить всё

with(plots):a := -.000300651; b := 1.12073; c := .355595; d := .00323073;data:=[[1,1],[2,2],[3,5],[4,14],[5,45],[6,59],[7,100],[8,210],[9,289],[10,497],[11,642],[12,872],[13,1047],[14,1296],[15,1400],[16,1341],[17,1083],[18,715],[19,312],[20,69]]: g1:=plot((-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d)))*9999, x = 0 .. 22, thickness = 2):g2:=pointplot(data,symbol = box):display([g1,g2]);

Такой получился славный рисунок:



Более лучшей аппроксимации придумать трудно.

Сам автор задачи считал, что лучше всего подходит бета распределение. Час назад проверил гипотезу. Прога на Yabasic:

Код: Выделить всё

open #1,"gist.txt","r":dim x(100),y(100),f(100):z=.00001
for i=1 to 20:input #1 x,y:x(i)=x/20:y(i)=y/9999*20:next i
af0=8:be0=3:s1=10^100:nn=10000000
for j=1 to nn:af=af0*(1+z*(ran()-.5)):be=be0*(1+z*(ran()-.5))
rem RASCHET B(af,be) METOD  SIMPSONA
a=0:s0=0:b=1:n=100:x1=a:for k=1 to n:x3=k*(b-a)/n+a:x2=(x1+x3)/2
f1=x1^(af-1)*(1-x1)^(be-1):f2=x2^(af-1)*(1-x2)^(be-1):f3=x3^(af-1)*abs(1-x3)^(be-1)
s0=s0+f1+4*f2+f3:x1=x3:next k:bb=(b-a)/(6*n)*s0
rem CONTINUE
s=0:for i=1 to 20:x=x(i):f(i)=x^(af1)*(1-x)^(be1)/bb:s=s+(y(i)-f(i))^2:next i
if s<=s1 then:print af,be,bb,s:s1=s:af0=af:be0=be:fi:next j

В итоге получил два оптимальных параметра бета распределения : af и be.
Далее в Maple сделал сопоставление наблюдений и аппроксимации:

Код: Выделить всё

with(plots):af := 6.65184; be := 2.77993;bb:=0.00607837;data:=[[1,1],[2,2],[3,5],[4,14],[5,45],[6,59],[7,100],[8,210],[9,289],[10,497],[11,642],[12,872],[13,1047],[14,1296],[15,1400],[16,1341],[17,1083],[18,715],[19,312],[20,69]]: g1:=plot(((x/20)^(af-1)*(1-x/20)^(be-1)/bb)*9999/20, x = 0 .. 22, thickness = 1):g2:=pointplot(data,symbol = box):display([g1,g2]);

Рисунок сопоставления наблюдений с бета распределением:



Можно сопоставить это с моим решением. Очевидно, что мое чуточку лучше.

Примерно вот так я помогал многим-многим специалистам, аспирантам, студентам... Примеров было сотни, различных известных распределений функции плотности вероятности - десятки. И во всех случаях мое четырехпараметрическое распределение превосходило любое из них по качеству.
Еще важный аспект. В данном примере при аппроксимации бета распределением приходится численно брать интеграл методом Симпсона. В моей проге этот блок находится между комментарием rem RASCHET B(af,be) METOD SIMPSONA и rem CONTINUE. Таким же неудобством награждено и нормальное распределение (распределение Гаусса). Красота моего распределения в том, что никаких численных интегралов брать не требуется. Кроме того, функция обеспеченности P есть в чистом виде интеграл от плотности вероятности.
[/color]

[Завада]

Его дед еще до второй мировой войны приобрел за немалые деньги шестьдесят брусков из очень редкой древесины: лунного эбена. Размер каждого бруска 18 x 4 x 4 см. Борис распилил вдоль все бруски на пластины размером 18 x 4 x 1 см. Не он лично, а мастера на заводе. Итого получилось 180 штук.

Неужто 25 % материала ушло в отходы?!

из очень редкой древесины: лунного эбена.

Самая редкая разновидность эбена – лунный эбен.

Стоимость паркета из этой породы приближается к 100 000 долларов за квадратный метр. Также очень ценятся бильярдные кии из лунного эбена, они очень дороги, при том, не каждый мастер согласится изготовить такой кий.

Лунный эбен растет очень долго, в самых диких и труднодоступных лесах. Сегодня эта порода запрещена к вывозу. В разные страны лунный эбен может попасть только с помощью полученных квот, и то – небольшими партиями. По этой причине встретить лунный эбен в продаже фактически невозможно. В странах Северной Америки и Европы эта древесина продается на вес, как золото.

Из лунного эбена можно изготовить фактически всё – мебель, напольные покрытия, декоративные настенные панели, элементы декора и украшения интерьера, сувениры. Из-за своей высокой стоимости, эбен никогда не идет в отходы – производители используют древесину полностью, без остатка.

По своей красоте лунный эбен не сравним ни с чем. Контрастные светло-золотые и почти черные линии создают ощущение броскости и гармонии одновременно. Рисунок напоминает движение ночных небесных светил, в каждой линии ощущается роскошь и эксклюзивность. Благодаря своей прочности и долговечности, эбен ценится не только в отделке интерьера, но и в изготовлении штучных музыкальных инструментов и посуды.
http://sterli-parquet.ru/stati/lunnyj-eben

[rusak]

Неужто 25 % материала ушло в отходы?!

А что делать? Тонкая фреза бесполезна. Но отходы Борис не выбросил - все собрал до крошки. На черный день наверняка пригодится. Может, и мне достанется

Отправлено спустя 45 минут 14 секунд:
42.



Это выдающийся немецкий математик середины XX века. В научном кругу известен своими замечательными работами в области статистического анализа катастрофических явлений. Большинству россиян он мало знаком, но в нашей семье - один из самых почитаемых ученых. Дело в том, что моя мама (она тоже занималась катастрофами в море и в прибрежной зоне) встретилась с ним на Международном конгрессе по мировому океану. В самом начале 50-х годов в США. У них получился как бы спаренный доклад на одну и ту же тему: воздействие волн на буровые платформы. После совместно написали пару статей (мама отлично знала немецкий). Опубликовали статьи в немецком научном журнале. У меня дома до сих пор висит точно такая фотография, только размером с хорошую картину. Сантиметров 80 по высоте, не меньше. К сожалению даже не знаю, как она у нас оказалась. Самое выдающееся достижение Гумбеля, которое принесло ему мировую славу, - это распределение его имени. Распределение Гумбеля. В Википедии наверняка статья такая есть.
(Два часа уже смотрю прямую трансляцию из Калифонии. Ужас, какая силища у воды! С водосбосов бобслейские потоки! Зубья должны точно повылетать.)
Но продолжу. Распределение Гумбеля я со всех сторон исследовал еще учась в школе. Помогал брату делать диплом и рассчитывал гистограммы как раз по экстремальным штормам в бухте Врангеля, что возле города Находка. В дипломной работе необходимо было запроектрировать крупнейший в мире лесной причал. Волнолом - в виде ряда вертикальных перфорированных железобетонных цилиндров диаметром 20 м. Удивительно, но наблюдения за штормами там производились на протяжении двухсот лет и потому статистика позволяла осуществить достаточно надежный прогноз. Жаль, что ни одного черновика тех моих расчетов не сохранилось. Сам диплом брата в инете тоже не нашел. Помню только отчетливо, что гумбелевское распределение действительно оказалось наиболее достоверным по многим критериям.
Когда заканчивал аспирантуру, то как раз и получил свое вымученное распределение Александрова. Оно было задумано, как самое обощающее среди всех известных. И, - удивительное дело!, - чем больше сравнивал, тем сильней крепла моя задумка. Какое бы распределение ни рассматривал (Вейбулла, Пирсона, биноминальное, Релея и прочие), - всегда удавалось превзойти его по качеству аппроксимации. То есть всегда моя сумма квадратов отклонений от натурных наблюдений оказывалась меньше. С этими результатами выступал на конференциях. Три-четыре раза в год, как правило. И однажды попался один вредный тип (фамилию его запомнил - Цюрупа), который решил меня разгромить и растоптать, упрекая в лженауке. Ни много, ни мало! И дал мне формулу (наверное, читатель уже догадался) - распределения Гумбеля! Предполагал, видимо, что я о таком редком распределении никогда и не слыхивал. Тогда ему говорю: давайте я задам любые значения двух параметров, рассчитаю двадцать точек и по этим точкам, (предполагая, что они экспериментальные), подберу параметры моего распределения. Потом дам сопоставительный график. Уверил, что двадцати минут мне вполне хватит. Цюрупа лишь победоносно ухмыльнулся и дал отмашку.
С ноутбуком я работаю молниеносно. Все программы и команды знаю наизусь. Основное время ушло на прокрутку миллиона циклов при расчетах методом Монте-Карло. Но в двадцать минут уложился. К счастью, расчеты и программы в компе сохранились, и сейчас я их просто представлю с комментариями.
Принял такие значения двух параметров: a=0.09; b=-0.3 , составил программку из трёх строчек и получил следующий файл данных:

Код: Выделить всё

.1 0.01
0.15 0.295
0.2 1.618
0.25 3.389
0.3 4.088
0.35 3.592
0.4 2.632
0.45 1.737
0.5 1.08
0.55 0.649
0.6 0.382
0.65 0.223
0.7 0.129
0.75 0.0744
0.8 0.0428
0.85 0.0246
0.9 0.0141
0.95 0.0081

Это координаты восемнадцати точек. Программа же аппроксимации моим распределением следующая:

Код: Выделить всё

open #1,"gumb.txt","r"
dim x(100),y(100),f(100)
z=.01:for i=1 to 18:input #1 x(i),y(i):next i:a0=-1:b0=1:c0=-1:d0=1:s1=10^100:nn=1000000
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-.5)):b=b0*(1+z*(ran()-.5)):c=c0*(1+z*(ran()-.5)):d=d0*(1+z*(ran()-.5))
s=0:for i=1 to 18:x=x(i)
f(i)=-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d))
s=s+(y(i)-f(i))^2:next i:if s<=s1 then:if s<0.0015 then z=.00001:fi
print a,b,c,d,s:s1=s:a0=a:b0=b:c0=c:d0=d:fi:next j

Оптимальные параметры распределения Александрова ввел в систему Maple и по командам

Код: Выделить всё

restart;a0:=0.09:b0:=-0.3:a:=-6.9656:b:=0.410888:c:=-1.08167:d:=0.752681: plot({-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d)),1/a0*exp(-(x+b0)/a0-exp(-(x+b0)/a0)),1/a0*exp(-(x+b0)/a0-exp(-(x+b0)/a0))},x=0..1,thickness=2);

наложил два графика друг на друга. Получилось так:



Нужно иметь орлиное зрение, чтобы заметить красные пикселы в нескольких местах кривой. Так совпасть, конечно, никакой Вейбулл не в состоянии.
Показал выкладки Цюрупе. Естественно, он сказал, что это ерунда и полный мухлеж. Пришлось с ним весь вечер убить, чтобы доказать: всё это - честно проделанное исследование.
Час назад для тех же 18 значений добавил оптимальную кривую Вейбулла. Прога в Maple

Код: Выделить всё

restart;k := 3.66697: l := .357842:a0:=0.09:b0:=-0.3:a:=-6.9656:b:=0.410888:c:=-1.08167:d:=0.752681: plot({-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d)),1/a0*exp(-(x+b0)/a0-exp(-(x+b0)/a0)),1/a0*exp(-(x+b0)/a0-exp(-(x+b0)/a0)),k*(x/l)^(k-1)*exp(-(x/l)^k)/l},x=0..1,thickness=2);

Получим сопоставление уже трех графиков:



Теперь я думаю, что читатель убедился: насколько далёк Вейбулл от распределения Гумбеля.

[/color]

[Завада]

Распределение Гумбеля. В Википедии неверняка статья такая есть.

«Говорящая» опечатка: статьи нет (о распределении в статье «Гумбель» упоминается).

[rusak]

статьи нет (о распределении в статье «Гумбель» упоминается).

Действительно нет Непременно найду время и такую статью в Вики оформлю. Попутно с гордостью замечу следующее: в Вики не было вообще статьи о великом певце Петре Лещенко. Какой-то Лев, понимаете, фигурировал, а Петра забыли! Собрал тогда о короле танго материал и заполнил сию возмутительную брешь. И что же? За годы статью дополнили так, что у меня дух захватило от восхищения!

[rusak]

43.

Сегодня попросили меня подробней рассказать, как при помощи цепи Александрова составить идеальный магический квадрат порядка 9. Ведь он - один из наиболее сложных. Сначала дам сам квадрат и соответсвующую ему цепь, в квадрате показываю красными стрелками ходы на первом цикле, а на втором рисунке - последовательность расчета всех 81 чисел , которые нужно методично расставлять в ячейках. Если внимательно во всем разобраться, окажется всё очень просто.





Попросила учительница из Барнаула. Она готовит со своими учениками презентации и данный материал очень пригодится. Это по ее словам.

[rusak]

44.

Давно хотел написать статью на эту тему. О том, как не совсем верно учат студентов решать некоторые уравнения в целых числах. Рассмотрим не очень простой, но и не особенно сложный пример. Имеется уравнение в неявном виде и нужно найти все целочисленные ответы:
1)Традиционный подход:



2) Чистые математики умеют мыслить более абстрактно и сделали бы так:



3) Я далек от чистого математического образования и предпочитаю прежде всего ясно видеть уравнение. Поэтому мой подход следующий: в Вольфраме или Maple строю графическое представление нужной формулы. Допустим, в Maple набираю простенькие команды:

Код: Выделить всё

with(algcurves); f1 := x^2-x*y+y^2-x-y; plot_real_curve(f1, x, y);

В результате организую следующее наглядное решение:



Выясняю, что имеем дело с эллипсом. Накладываю на него сетку с целочисленными координатами. Определяю точки, которые могут быть кандидатами на решения. Их оказалось ровно шесть. После только подставляю в исходное уравнение координаты каждой точки и убеждаюсь, что все они являются решениями.
Конечно, мой подход лишь начальный, но он обеспечивает полную наглядность того, что мы ищем.
Далее, зная результат, уже легче планировать чисто алгебраическую схему. Либо первую, либо продвинутую вторую.

[/color]

[rusak]

45.

Сложнее обстоят дела, когда уравнения имеют степени больше двух. Я много времени посвятил полиномам четвертой степени. Они обычно являются головной болью для студентов. Метод Ферарри довольно сложный и трудоемкий. Сгруппировать удачно члены не всегда получается. Если еще и корни комплексные, то построение графика уже бессильно. А если еще и интернета нет, или он барахлит, то от Вольфрама Альфа милостей не жди. Но иногда позарез нужно найти корни хотя бы с приемлемой точностью. На такой экстремальный случай я разработал свой подход, базирующийся на методах неопределенных коэффициентов и Монте-Карло. Сколько раз подход этот меня и моих коллег выручал! Думаю, что многим будет интересно обогатить свою память знанием этого небольшого багажа.



Составим программу в Maple по определению методом Монте-Карло четырех неизвестных коэффициентов. Приблизительные значения и, главное, - знаки. Пусть a=-10 ; b=35 ; c=-50 ; d=24. Тогда:

Код: Выделить всё

with(stats): z := 0.1e-1: a := -10.: b := 35: c := -50: d := 24: for m to 4 do if m = 1 then u0 := 1: v0 := 1 end if: if m = 2 then u0 := 1: v0 := -1 end if: if m = 3 then u0 := -1: v0 := 1 end if: if m = 4 then u0 := -1: v0 := -1 end if: s1 := 10^20: n := 100000; for i to n do u := u0*(1+z*(evalf(rand()/10^12)-.5)): v := v0*(1+z*(evalf(rand()/10^12)-.5)): f := abs((a-u)*u+d/v+v-b)+abs((a-u)*v+d*u/v-c): if f < s1 then s1 := f: u0 := u: v0 := v end if end do: p := a-u: q := d/v: print(u, v, p, q, s1); end do:

Получаем четыре варианта в зависимости от принимаемых знаков параметров (из них нужно выбрать вариант, при котором последнее число резко меньше трех остальных:

Код: Выделить всё

   0.006800221553, 0.6950336622, -10.00680022, 34.53070161, 43.24688334
    1.875246489, -0.7615779026, -11.87524649, -31.51351939,      89.52041428
  -2.985422941, 2.006675863, -7.014577059, 11.96007808, 0.00009184
 -0.000007508158219, -1.481385113, -9.999992492, -16.20105386, 117.4961895

Видим, что верна третья строка. Принимаем знаки этой строки и производим для нее более точный расчет:

Код: Выделить всё

 with(stats): z := 0.1e-2: a := -10.: b := 35: c := -50: d := 24: m := 3: if m = 1 then u0 := 1: v0 := 1 end if: if m = 2 then u0 := 1: v0 := -1 end if: if m = 3 then u0 := -2.985422941: v0 := 2.006675863: end if: if m = 4 then u0 := -1: v0 := -1 end if: s1 := 10^20: n := 2000000: for i to n do u := u0*(1+z*(evalf(rand()/10^12)-.5)): v := v0*(1+z*(evalf(rand()/10^12)-.5)): f := abs((a-u)*u+d/v+v-b)+abs((a-u)*v+d*u/v-c): if f < s1 then s1 := f: u0 := u: v0 := v: if s1 < 0.1e-4 then z := 0.1e-5 end if end if end do: p := a-u: q := d/v: print(u, v, p, q, s1);

Получим окончательно:

Код: Выделить всё

                          
    -2.999999610, 2.000000267, -7.000000390, 11.99999840, 0.

По сути наши коэффициенты : u=-3 ; n=2 ; p=-7; q=12.

В итоге мы полином разбили на два сомножителя:



А корни квадратного уравнения уже каждый школьник найдет.
[/color]

[Завада]

дух захватил

[rusak]

Появилась у меня тревога. В одном из формумов (математическом) есть тема "Для тех, кто не любит кошек". Ведется она давно и там было уйма интересных фоток. Сейчас взглянул на начальные страницы и ахнул: все фотки поисчезали! Они просто убраны.
Значит, такая беда может постичь и мою эту тему. Сегодня засучил рукава и все 45 зарисовок скопировал в Ворд и записал на флешку. Так что, если кому дороги свои опусы с фотографиями, быстренько следуйте моему примеру!

46.

Еще сделал проверку возможностей распределения Александрова. В статье (ссылка дана на рисунке) показано распределение Пуассона, которому подчиняется закономерность количества звонков в определенный сайт. Как и в прежних зарисовках, сделал аппроксимацию. Прога в Maple:

Код: Выделить всё

with(plots): data := [[1, 0.638e-2], [2, 0.223e-1], [3, 0.521e-1], [4, 0.912e-1], [5, .128], [6, .149], [7, .149], [8, .130], [9, .101], [10, 0.710e-1], [11, 0.452e-1], [12, 0.263e-1], [13, 0.1419e-1], [14, 0.709e-2], [15, 0.331e-2]]: a := -0.722385e-3: b := 41.318; c := -0.778782e-2: d := -37.1344: q1 := pointplot(data, symbol = BOX); q := plot(-a*x^(b*x^c+d-1)*(b*x^c*(c*log(x)+1)+d)*exp(a*x^(b*x^c+d)), x = 0 .. 20, thickness = 2): display(q, q1);

Сопоставление без комментариев:



Сумма квадратов отклонений 0.0000289

[/color]

[rusak]

47.

Еще одна головная боль у бедных студентов. Даны три точки, лежащие не на одной прямой. Нужно найти координаты центра окружности и радиус. Всюду дают алгоритм решения через определители. Но всегда хочется иметь явные формулы. Об этом поговорим завтра.
Сразу оговорюсь, что речь пойдет об окружности на плоскости. В литературе почему-то ни одной явной формулы расчета координат центра окружности не предлагают. Дают либо определители, над которыми нужно еще изрядно попотеть, либо онлайн-решатели, в которых все шито-крыто. Даже Википедия ( с ее десятками иностранными ссылками) желанные формулы не приводит. Наверняка, конечно, все это где-то в книгах выведено, но за битый час хождения по просторам инета я так ничего и не обнаружил. Поэтому пришлось самому...
Смотрим рисунок:



Сначала даны только три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Точки 1, 2 и 3. Задача эта школьная, и наверняка все понимают, как найти центр О через срединные перпендикуляры. Найдя этот центр, строим циркулем и окружность. При тщательных построениях все три точки будут принадлежать кривой.
Аналитическая геометрия тут тоже простая. Но чем дальше в лес, тем формулы становятся жирнее и длиннее. В этом-то и оказалась проблема, как мне кажется. Вчера весь вечер колдовал и удалось-таки найти нечто изящное. Не буду делать подробные выкладки, а дам сразу результаты:



Красота первых двух формул потрясающая! Вспоминается афористичное выражение Годфри Харди "они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их".
Знаменатели у формул одинаковые и прослеживается удивительная цикличность индексов при иксах и игреках (цикличность по часовой стрелке показана в нижнем правом углу). И такая же цикличность четко видна в числителях! Благодаря этому формулы можно твердо и надолго запомнить.
Чтобы не набивать их в случае необходимости, привожу листинги:

Код: Выделить всё

x0 := -(1/2)*(y1*(x2^2-x3^2+y2^2-y3^2)+y2*(-x1^2+x3^2-y1^2+y3^2)+y3*(x1^2-x2^2+y1^2-y2^2))/(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))

y0 := (1/2)*(x1*(x2^2-x3^2+y2^2-y3^2)+x2*(-x1^2+x3^2-y1^2+y3^2)+x3*(x1^2-x2^2+y1^2-y2^2))/(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))

Формулы проверял на нескольких примерах.
[/color]

[daslex]

Но всегда хочется иметь явные формулы.

Ну как же нет ни одной?

В явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:


Источник.
Очень быстро нашлось.

[rusak]

daslex, Так я же эти формулы сам (после публикации тут) в Вики и установил. Я же зарегистрирован там и меня знают, как облупленного (имя в Вики Renuar911). Причем в двух местах поместил: где Вы нашли и в статье "Окружность".
Вот если еще где найдете - буду очень благодарен. В моих интересах в книге, которую пишу (да и в Вики тоже), дать ссылку, а не выдавать за свое изобретение.

[daslex]

Дата поста 24.08.2015, 16:40

Всё уже выведено: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E...81.D1.82.D0.B8

Последние изменения датируются 2010-м годом. Алгоритмов не знаю, говорю, что вижу.
https://ru.wikipedia.org/w/index.php?ti ... on=history

Отправлено спустя 20 минут 26 секунд:
Увидел.
11:20, 21 февраля 2017‎ Renuar911 (обсуждение | вклад)‎ . . (44 223 байта) (+453)‎ . . (→‎Уравнение описанной окружности) (отменить) [отпатрулирована участником Alexei Kopylov]

Возможно, что-то с кешем было. Почему не показало сразу, трудно сказать.

[rusak]

Отменить - это окончательное решение? Или голосование там какое? Ну, отменят, так отменят. Беда невелика.

[daslex]

Вы не о том подумали. Я скопировал строку в том виде, какой есть, без правок. Слово отменить не должно вводить никого в заблуждение. Это ссылка там для других участников, защита своеобразная.

Это от Вас очень ценная информация, вряд ли кто-то отменит такую правку.