Математические зарисовки

Уважаемые дамы и господа! Эта тема называется так: «Математические зарисовки». Желающим написать что-либо другое — сюда, в эту тему: «Зарисовки».

Сообщение **daslex** » 31 янв 2017, 19:51

Позвольте заметить, что в видеоролике совсем не "сухой лист".

Сообщение **rusak** » 31 янв 2017, 20:19

daslex,
Сухой ... лист - вот они. Кто скажет, что они мокрые, пусть обольёт меня с ног до головы.

Сообщение **daslex** » 31 янв 2017, 20:25

rusak, Я написал только о футбольной технике. В видеоролике нет исполнения "сухого листа".
Я требую математики.

Отправлено спустя 5 минут 39 секунд:
Кому интересно, что такое "сухой лист", можете посмотреть:

А в остальном, это "Математические зарисовки", а не что такое "сухие листы".

Сообщение **rusak** » 31 янв 2017, 20:39

Завтра напишу очередную зарисовку. Уже черновик подготовил, а сегодня позволил себе расслабиться: ведь заимел свой, понимаете, особняк! Сергею Титову нашему - Ура! (3 раза)

rusak-у

Сообщение **rusak** » 01 фев 2017, 00:14

27.

Ладно. Делу - время, а потехе - час.
В институте я узнал о тригонометрическом представлении комплексных чисел. Сейчас составлю краткую шпаргалку, чтобы была ясность:

В задаче предыдущего поста вектор ограничивался тригонометрическим кругом, и поэтому x^2+y^2=1. Здесь же будем рассматривать общую задачу. Головной болью студентов была во все времена такая табличка выбора угла фи:

Комплексные числа можно не только складывать, вычитать, перемножать и делить, но и возводить в степень. Для последнего случая имеется великолепная формула Муавра. Не буду уходить в дебри моих исследований, проб, ошибок и счастливого прояснения (по этому поводу написана большая глава книги "Мaтемaтикa для вундеркиндов", которую непременно опубликую в этом году), а дам сразу формулы, учитывающие все нюансы тригонометрического представления комплексного числа. Мою лекцию по этому поводу опубликовала одна из студенток и поместила в ютубе

Записывала на мобильник и потому качество - не ахти.
Теперь голова у студентов болеть не должна. Им только придется очень внимательно следовать показанным записям, а еще лучше - создать небольшой программный блок, чтобы подставлять лишь параметры комплексного числа и получать готовое верное решение.
Летом прошлого года выступал с докладом в Миланском политехническом институте, очень воодушевил молодежь, а перед самым отъездом председатель Конференции вручил именной диплом с удивившей многих формулой, которую скопировали с текста моих тезисов:

Не всем выступавшим такое счастье выпало.

Сообщение **rusak** » 01 фев 2017, 09:46

28.

О проблемах математики думаю почти всегда. Даже если иду в торговый комплекс "Стройматериалы" за гвоздями или скобами для степлера. Чтобы подрамник сколачивать и холст на него натягивать. И в каком-то недавнем году, кажется осенью, семеню вдоль шоссе, решаю в уме задачку и вижу - горит на другой стороне бутик. Уже фасад весь в огне, пламя выше сосен. А еще вчера красовалась зазывающая реклама "Интим". Эх, так я ни разу туда и не зашел! Пожарных машин еще нет, бегают с ведрами люди, пытаются справиться... Но куда там! С огнем таким без шланга и мощной струи не совладать. Еще лучше, конечно, пеной. Но где увидишь пену в 15 километрах от МКАД? Московской кольцевой автодороги, если кто не знает. Я сразу понял, что мне бежать к пожару и помогать смысла нет, но зато внезапно в голове родился афоризм. С собой я всегда в кармане тоскаю сложенный листок А4 и карандашик. Как раз для такого афористического дела. Кое-как на ходу записал смысл этого краткого произведения. Оно, конечно, корявое было, но любую корявость можно так отполировать, что она станет жемчужиной. Так получилось на этот раз. Вот результат домашней полировки:

Сообщение **rusak** » 02 фев 2017, 07:49

29.

В самом начале третьего тысячелетия был организован конкурс на лучшую формулу любви. То есть на такую, формулу, которая самым красивым образом описывает контур сердечка. Что тут началось! Посыпались сотни вариантов со всех стран и народностей. Приведу лишь часть из них, которые я распределил в интуитивном порядке от не очень удачных до лучших и лучших. Итак:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 1
Лишь в 18 веке пришло понимание того, что пора уже дарить женщинам более сложные формулы — с элементарными функциями и другими прибамбасами. Такими, например, как полярные координаты. Первой кривой, отдаленно напоминающей сердце, была кардиоида

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 2
Чтобы поправить положение, некий ловкий чуточку усложнил формулу кардиоиды и получил нечто более человеческое:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 3

Увидев это один супер-мупер под ником doctor по аналогии построил объемный вариант токого же сердца. У меня прога не получилась, поэтому верю ему на слово и привожу картинку из инета:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 4
Какой-то странный парень с высоким математическим образованием догадался возвести синус в седьмую степень и умножить его на экспоненту. И все это – в полярных координатах. Симметрию обеспечил двумя интервалами угла t. Единственное, что он явно ляпнул – это перед синусом поставил коэффициент аж 5. Цифры на осях координат оказались солидными. Поэтому я без разрешения автора уменьшил этот коэффициент аж в 50 раз! Ну, чтобы размеры сердца не зашкаливали:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 5
А вот, наконец, один шибко сообразительный догадался в параметрической форме покорить свою подружку. Сердечко ладненьким получилось:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 6
Следующее решение некий программист сам сделал в системе Maple и получил такой график сердечка:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 7
А уж тут явно ближе не к сердцу:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 8
А вот это уже как-то трогает! Тем более, что в полярных координатах. Как же подбираются такие интересные комбинации синусов, косинусов, корней квадратных?

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 9
Ну, а этот наверняка в молодости ходил на дискотеки, слушал попсу, увлекался тату, пирсингом и тусовками. Поэтому и форма сердца оказалась в виде последнего писка моды:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 10
Тоже из серии крылатых сердец. Но совсем иные параметрические формулы!

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 11
Здесь любитель тригонометрии поленился ввести в параметрические формулы хотя бы простенькие коэффициенты. Потому и выглядит сердце, как общипанная курица.

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 12
Подобную общипанную курицу дает неявная математическая зависимость. Опять поленился коэффициентиками поиграть. Эх, молодежь!

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 13
Однако нашелся-таки добросовеснное светило, которое коэффициентиками поиграло. И добилось при этом заметного улучшения предыдущего графика:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 14
Эту очаровательную формулу я нашел в картинах Google:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 15
Но мокрая курица просто так не сдается! Она так и лезет из-под пера аппроксиматора:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 16
Ну, а сейчас пойдут настоящие шедевры! Это, конечно, на мой взгляд. Но посудите уж сами. Первый шедевр тригонометрический, довольно сложный, параметрический:

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 17
Второй шедевр – предел простоты. Сердце компонуется из полуокружностей и повернутого набок косинуса. Высший пилотаж стилизации!

КАК Я РЕШАЛ ЭТУ ИНТЕРЕСНУЮ ЗАДАЧУ.

Главное - это аппроксимировать половину сердечка. Пусть вертикальная ось симметрии будет слева. Тогда будем аппроксимировать правый контур. На что он похож? Кривая очень похожа на цифру два, но без нижней горизонтальной черты. Эта цифра самая красивая из всех, как мне кажется. Я достал флешку, на которую в свое время записал около пяти тысяч различных шрифтов, и стал разглядывать только двойки. Выбрал наиболее простую и изящную. Взял миллимитровку и скопировал около 20 точек контура. Записал координаты и ввел их в систему Maple. Написал такую программу построения точек:

Код: Выделить всё

 with(plots):X:=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1]:Y:=[0.83,1.09,1.19,1.25,1.29,1.31,1.31,1.29,1.25,1.15,0.83,-0.83,-0.57,-0.44,-0.34,-0.24,-0.13,-0.02,0.10,0.25,0.43,0.83]:g:=plot([[X[i],Y[i]]$i=1..22],x=0..1,style=POINT,symbol=CIRCLE,color=blue):display(g);

Вот результат:

Какой же функцией аппроксимировать? Стал изучать множество других формул. Анализируя их и додумав свои предположения, остановился на такой общности:

Теперь было дело компьютерной техники! Уже давно разработал свой метод аппроксимации методом случайного поиска с самообучением, или иными словами, - методом Монте-Карло. Программа в Yabasic простая:

Код: Выделить всё

open #1,"heart.txt","w": v(100),x(100),y(100),z(100)
z=.0001:for i=0 to 10:x(i)=i/10:next i:for i=11 to 21: x(i)=x(i-11):next i
y(0)=.83:y(1)=1.09:y(2)=1.19:y(3)=1.25:y(4)=1.29:y(5)=1.31:y(6)=1.31:y(7)=1.29:y(8)=1.25:y(9)=1.15:y(10)=.83
y(11)=-.83:y(12)=-.57:y(13)=-.44:y(14)=-.34:y(15)=-.24:y(16)=-.13:y(17)=-.02:y(18)=.1:y(19)=.25:y(20)=.43:y(21)=.83
x(0)=10^(-20):x(11)=x(0):for i=0 to 21:print i,x(i),y(i):next i
a0=1:b0=1:c0=1:d0=1: f0=1:s1=10^100:nn=1000000
for j=1 to nn:a=a0*(1+z*(ran()-.5)):b=b0*(1+z*(ran()-.5)):c=c0*(1+z*(ran()-.5))
d=d0*(1+z*(ran()-.5)): f=f0*(1+z*(ran()-.5)):s=0:for i=0 to 21:x=x(i):y=y(i)
z(i)=abs((a*y-(abs(x))^b))^c+x^d-f:s=s+(z(i))^2:next i:if s<=s1 then
print a,b,c,d,f,s
print #1,a using "#####.########",b using "#####.########",c using "#####.########",d using "#####.########",f using "#####.########",s using
"#####.########"
s1=s:a0=a:b0=b:c0=c:d0=d:f0=f:fi:next j

В текстовом файле "heart.txt" получаем динамику изменения параметров уравнения. При этом сумма квадратов отклонений S уменьшается на несколько порядков:

Параметры теперь можно округлить и в результате получить желанный ответ:

Итак, вот мое замечательное решение:

[/url]

Потом сделал рекламный коллаж, который пустил по интернету:

Жаль, что не принял участие в конкурсе, поскольку опоздал месяца на два. А то мог бы и приз получить и славу славную[/color]

Сообщение **rusak** » 03 фев 2017, 07:11

30.

Мaтемaтикa - это такое же искусство, как и писание картин. Часто они пересекаются и очень украшают нашу жизнь. В конце декабря прошлого года я вез с собой в Германию17 небольших картин из серии "Математические этюды". Это и узоры (брал с интернета), и абстракции, и наив, и даже геометрические теоремы. Одна из галерей выкупила всё оптом, благодаря чему моя поездка полностью окупилась. Сфотографировал, к сожалению, не все картины. Только три. Пользуюсь случаем их тут показать:

Здесь пятнадцать оттенков голубого цвета. Приходилось в белила последовательно добавлять 15 одинаковых капель голубой ФЦ.
В большем разрешении http://s019.radikal.ru/i612/1702/3b/f5a4a3b6a6fd.jpg

Очень сложная палитра, трудоемкая последовательность раскраски. На работу потребовалось пять недель.
В большем разрешении http://s008.radikal.ru/i304/1702/6d/4dbc911268ed.jpg

Гелевые ручки. Вырисовывал каждый пиксель. Как это в редакторе Paint.
В большем разрешении http://s020.radikal.ru/i707/1702/6a/6414d6357c8f.jpg

Да! Вспомнил еще. Когда встречал Новый 2016 год на Мальдивах, там написал картину одной прекрасной девушке. Тоже на математический лад. Нашел файл только что в моих дисках:

И еще вспомнил уже о грандиозной моей картине длиной почти 2 м., написанной лет 5 назад:

Но вообще-то картин на тему математики у меня было наверное не менее 200. Вот только не все почему-то фоткал.
А надо бы!

Сообщение **rusak** » 03 фев 2017, 17:01

31.

Теперь вспомнил важный этап моих изысканий - корректировку элементарной геометрии. Речь идет о конических сечениях. То, о чем пишут и многократно копируют сотни и тысячи учебников, вызывает у меня легкий дискомфорт. Прежде всего - это совершенно особое отношение к уравнению параболы, хотя она есть частный случай эллипса. Крайний случай, когда одна из осей эллипса имеет бесконечную длину. Причем, если у гиперболы и эллипса канонические уравнения родственные и отличаются лишь знаком, то парабола оказалась белой вороной и каноническое уравнение почему-то базируется на понятии директрисы. На деле должна быть структура чуть проще чем у упомянутых двух родственников, и эта структура должна хотя бы немного стать похожей на остальные две. Далее, зачем-то параболу кладут на бок, хотя мы привыкли к тому, что ветви ее идут либо вверх, либо вниз. Явно путают икс с игреком.
Я решил как следует во всем разобраться и дать более логичные канонические уравнения. Невзирая на авторитеты прошлых лет и даже столетий.
Здесь я предлагаю рассмотреть уменьшенный плакат, который сделал для одной из школ. Была жаркая дискуссия по этому интересному поводу. Мне присылали по электронной почте и критику, и одобрения, и пожелания. Пишу также и ссылку, по которой можно будет в укрупненном виде изучить каждый рисунок, каждый математический знак. Обратите внимание на левую верхнюю часть плаката. Благодаря созданию общей логики конических сечений, удалось выявить каноническую формулу контура птичьего яйца. Скоро напишу об этом Главу книги и выжимки из нее - здесь, в зарисовках.

http://s019.radikal.ru/i629/1702/66/1621330d29a8t.jpg

Когда начал писать главу книги, пришлось окунуться в изучение различных форм яиц у птиц, крокодилов, пингвинов, черепах и т. д. Оказалось, что формы эти настолько многообразные, что формулу лучше немного расширить. К счастью, несложная техническая задача при использовании метода Монте-Карло. Погуглив в инете и найдя первое попавшее яйцо какой-то пташки, я довольно точно аппроксимировал контур ( в виде приплюснотого овала) следующей формулой:

Можете сами убедиться, пройдя по этой ссылке
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... -0.6..0.6)

Эта функция, такая же гибкая, как и природа со своей богатейшей фантазией.

Сообщение **rusak** » 04 фев 2017, 10:03

32.

Впервые в газете я публиковался, будучи студентом. "За строительные кадры" называется. Наверное, если погуглить, ее можно найти. Опубликовал стихотворение. Вот припоминаю начало... Или нет! - даже полностью:

"Человек когда-то
Позавидовал птице:
- Хорошо бы, ребята,
Летать научиться!

Мечта - это тайна.
Претвори, давай-ка
Ее в реальность,
Товарищ Можайский!

Студент, штурмуй
Любые преграды.
Да здравствует юность,
Несущая радость!"

Кажется так. Ну, возможно где-то не точь-в-точь. И кажется, одну-две строфы запамятовал. Между Можайским и Студентом.
Это на первом курсе. После еще раза три стихи приносил. Хотя их напечатали, но хоть убейте - ни названия, ни строчки не вспомню. Видимо, самое первое - самое яркое.
Прошли годы, и неожиданно очередь дошла и до науки. В одном из формумов познакомился с редактором какой-то совсем уж местной газеты. Алла Владимировна - так ее величать. Она вела как раз научную рубрику. Я осмелился и пригласил ее прямо на свою дачу. Для интервью. Конечно же, встретил на машине в Москве, возле ее дома, благополучно довез и вот мы в гостинной за чашкой чая начинаем важный разговор при включенном мобильнике.
Прошло где-то дней пять, она мне звонит и сообщила, что интервью одобрено, сверстано и в мою электронную почту отправила вордовский файл. Ну, чтобы я проверил, исправил огрехи и так далее. Еще через неделю позвонила и сообщила, что все замечательно, все опубликовано. На следующий день я к ней подъехал и с ее рук взял подарок - экземпляр малотиражки с моей фоткой прямо под названием газеты, которое даже толком не прочел. Все внимание было нацелено на мой личный вклад. Интервью оказалось аж передовицей. Электронный вариант на всякий случай опубликовал в своем дневнике в интернете, газету припрятал. На этом счастье закончилось. Прошел год. Мне понадобилась для написания очередной главы книги отдельные выдержки из интервью. Стал искать газету - как сквозь пол провалилась. Рванулся к дневнику - сайт прихлопнули, как вредоносный. Ну, мистика полная! Что делать? Стал гуглить и случайно нашел копию вордовского файла у какого-то поляка. Быстро скопировал, пока конец света не наступил. На всякий случай сделал четыре копии и рассовал по флешкам. Привожу сокращенный вариант статьи, поскольку тут Зарисовки, а не мастерская для талмудов.

Алла Владимировна. Что это за таинственные А-числа и почему не Б, не В…?
Александров. Догадаться нетрудно – спасибо моей фамилии. Да и в Википедии проверил – такого термина нет еще. А свято место пусто не бывает. Ну а теперь серьезно о сути чисел. Со студенческой скамьи я увлекся кладками из блоков, имеющих форму кирпича. Только огромных таких бетонных блоков, весом до трехсот тонн. Из них возводят причалы, волноломы, опоры пирсов и маяков. Подобные “кирпичики”, как известно, применялись при строительстве египетских пирамид, храма Юпитера в Баальбеке и многих, многих других замечательных сооружений. Изучая различные кладки по фотографиям, я обнаружил интересные закономерности в их размерах, а также и недостатки. К последним относится большой разброс в весах блоков, из которых возводилось конкретное сооружение. Рассуждал просто и логично: раз имеется подъемное устройство, допустим в 100 тонн, то экономически невыгодно им поднимать и устанавливать блок весом 20 тонн. Идеальным было бы иметь все блоки весом по 100 тонн. Это лучше и по темпу строительства, и по условию равнопрочности конструкции. Ведь если, например, в волноломе среди стотонников окажутся двадцатитонные элементы, то их легко могут “выбить” штормовые волны и вся кладка неминуемо разрушится. Есть, правда, одно “но” – из блоков одного типа редко удается создавать кладку с перекрытиями швов. Ведь даже в кирпичной кладке обычно применяют кирпич и полкирпича. Иначе во многих местах вертикальные швы совпадут и степень монолитности структуры понизится.
Алла Владимировна. Да, но причем тут А-числа?
Александров. Ах, да! Простите – я увлекся. Так вот, я подумал, а нельзя ли создавать кладки из блоков одинакового веса? Пусть даже эти блоки будут иметь разные габариты. И представьте себе – такая цель оказалась достижимой! В своей диссертации я разработал методику компоновки секций из трех видов блоков одинаковой массы. Эта методика была защищена авторским свидетельством, попала в учебники для ВУЗов, вошла в нормативные документы. Тут можно было успокоиться и предаться сладкими воспоминаниями о терзаниях при поиске научной истины. Но вот однажды, находясь в гостях у старшего сына (он три года жил и работал в Испании) меня озарила счастливая мысль: можно, оказывается, создавать кладки не из трех, а всего из двух типов блоков. Суть оказалась в одной простенькой формуле…
Алла Владимировна. Оооо! А можно без этого? Я с детства не дружу с математикой…
Александров. Не волнуйтесь. То, о чем я сейчас буду говорить, поймет даже пятиклассник. Итак, все блоки при возведении определенного объекта имеют одинаковую высоту. Следовательно, мы можем говорить не о равном весе блоков, а о равных площадях их основания. То есть пространственную задачу легко трансформировать в плоскую. Теперь попытайтесь абстрагироваться. Пусть мы имеем три целых, попарно взаимно простых числа a , b и c . Я вижу Ваше удивление и поясню. Три числа будут попарно простыми, если никакая из трех пар: a и b ; a и c ; b и c не будет иметь общих делителей, больших единицы. Например, числа 3 , 4 , 5 – попарно взаимно простые, а числа 4 , 5 , 6 таковыми не являются, поскольку пара 4 и 6 , кроме единицы, имеет еще и общий делитель 2.
Алла Владимировна. В принципе, все понятно.
Александров. Так вот, если числа попарно просты, то можно создать кладку из двух видов блоков с одинаковой площадью в основании. Покажу один из вариантов. Площадь S равна bca^2 и плановые габариты блоков: ab x ac и a^2 x bc. Как видите, габариты совершенно разные, а площади одинаковые и равны S.
Алла Владимировна. Ой, сейчас врублюсь… Так… Да, все вроде логично. Поняла.
Александров. Точно так же площадь acb^2 дает габариты ab x bc и b^2 x ac , а площадь abc^2 – соответственно ac x bc и c^2 x ab . Думаю, сложного тут ничего нет.
Алла Владимировна. Так, значит, эти a , b , c и есть А-числа?
Александров. В общем случае нет. Но как раз веду к этому разговор. После приведенных умозаключений оказалось возможным еще на порядок упростить проблему и рассматривать уже одномерную задачу. То есть рассматривать не площади основания блоков, а всего лишь отрезки размером a , b , c .
Алла Владимировна. Как это так вдруг? Что-то не совсем улавливаю.
Александров. Тут элементарно, но не хочется пускаться в затяжную дискуссию. Уж поверьте мне на слово. Задача снизилась до минимума простоты и звучит теперь так: построить две параллельные цепочки отрезков таким образом, чтобы : 1) их общие длины были одинаковыми; 2) ни в одном месте отрезки одинаковой длины не оказывались смежными. Тут уже без рисунка не обойтись. Вот посмотрите – я начерчу три возможных варианта для чисел 3, 4, 5 :

Других вариантов нет и быть не может. Хорошо видно, что нигде отрезки одинакового цвета не соприкасаются друг с другом. Теперь самое существенное. Схема 1) – симметричная. Остальные схемы – асимметричные. Причем схемы 2) и 3) являются идентичными. В самом деле, если крутануть 2) на 180 градусов в плоскости чертежа, то придем к 3). Такие фигуры, кажется, называют конгруэнтными. До 2000 года я думал, что так ведут себя все попарно взаимно простые числа. Но совершенно случайно, вдруг, обнаружил бесконечное множество попарно простых чисел, которые образуют три разные симметричные схемы! Взгляните, сами: беру числа 1 , 3 , 5 и начинаю строить цепочки отрезков:

Неожиданным оказалось то, что все А-числа должны быть обязательно нечетными. Приведу некоторые из них:
7 , 9 , 17 ; 13 , 15 , 29 ; 19 , 21 , 41 , … , 6k + 1 , 6k + 3 , 12k +5.
Или, например, такая группа: 5 , 7 , 13 ; 11 , 13 , 25 ; 17 , 19 , 37 ; 23 , 25 , 49 , … , 6k -1 ; 6k +1 ; 12k + 1 .
Хотя А-чисел бесконечно много, они составляют всего два с половиной процента от общего числа всех попарно взаимно простых чисел.
Алла Владимировна. Вроде бы основную мысль уловила, но не понимаю, как Вы их находили. По какой формуле?
Александров. Вы наступили на мою самую больную мозоль. Получаю эту группу чисел исключительно путем построения кладок, перебирая все варианты нечетных чисел. Конечно же, - на компьютере и при помощи специальной программы. Нашел, правда, несколько частных зависимостей, но общей формулы (наподобие формул расчета пифагоровых троек) выявить так и не удалось. Хотя прошло уже почти восемь лет. За это время Эндрю Уайлс умудрился доказать Великую Теорему Ферма. Но я же, увы, - не Эндрю Уайлс. (Смеется).
Алла Владимировна. Большое спасибо за интересный доклад. Желаю, чтобы в новом году все у Вас получилось и чтобы в семье сохранилось полное благополучие.
28 декабря 2008 г.

Сообщение **rusak** » 05 фев 2017, 10:17

33.

Однажды встала задача: взять вроде бы простенький интеграл

где n - целое положительное число.
Вольфрам Альфа выдал несусветчину:

Студентка мучилась весь день, чуть не плачет. Говорит мне, что никогда таких мерзкопакостных задач сроду не решала. А ей от силы лет 17. Ну, что можно создать за семнадцать детских лет? В школах берут только самые примитивные интегральчики (а когда я учился, то вообще не знал, что это такое). В институте же сразу шарахают вышкой по голове. Отсюда и многочисленные слезы. Стали разбираться с Поляковой вместе. Я предположил, что лучше разделить задачу на две подзадачи и каждую решать отдельно. Отдельно рассматривать нечетные и четные n . Система Maple показала на редкость дикие коэффициенты. И чем больше брали значение целого параметра, тем дикость возрастала. Надежда - либо на собственные головы, либо на Вольфрам. Вольфрам обнадежил. Для нечетных n выявили такую серию:

Для четных, как и ожидалось, - иную:

Татьяна заметно воспрянула духом. Сетовала только, что надо было самой догадаться.
Но задача еще не решена. Чему же равен интеграл в общем виде? Мне сразу стало ясно, что интеграл равен сумме одного из двух рядов. Я Татьяне предложил немного поработать над коэффициентами, чтобы вывести две общие формулы. Она сообразила вытащить за скобки двойку и тогда дело закипело как надо. Вопросы оставались только насчет верхних пределов в двух суммах. Вдвоем мы и это четко установили. Окончательно были получены такие интересные формулы:

После самым тщательным образом рассмотрели конкретный пример, задав от фонаря n=16 и n=17, а также пределы интегрирования от 0.5 до 2 . В результате наши ряды и Вольфрам дали одинаковые площади: соответственно -0.06084205 и -0.00679837.
Студентка впервые за целый час улыбнулась.

Сообщение **rusak** » 06 фев 2017, 10:20

34.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Индийцы, владевшие уже мультипликативным принципом записи чисел, как раз между II и VI вв. н. э. познакомились с греческой астрономией. Это видно из того, что они переняли и общие теоретические положения этой астрономии, и многие греческие термины.
За две или полторы тысячи лет до начала нашего летосчисления были написаны древние индусские книги, называемые ведами. В этих книгах и их переделках, в так называемых сутрах, содержатся подробные правила для замены одной фигуры равновеликой ей другой, для разделения и складывания этих фигур. При этом пользуются главным образом прямоугольными треугольниками, стороны которых выражаются целыми числами. Известны были прямоугольные треугольники следующих видов: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8 , 15 , 17) и (12, 35, 37). Вообще-то у великих математиков древней Индии замечалось трепетное отношение к треугольникам. Формулировались множество задач (в основном целочисленных), связанных с этой простейшей геометрической фигурой. Вот некоторые из них:
1) Имеем пять длин, их можно повторять, и нужно составить три треугольника одинаковой площади.
2) Имеем пять длин, их можно повторять, и нужно составить три треугольника одинаковой площади, из которых один имеет две равные длины.
3) 2) Имеем пять длин, их можно повторять, и нужно составить три треугольника одинаковой площади, из которых два треугольника имеют по две равные длины.
4) Имеем девять длин, из них нужно составить три треугольника одинаковой площади, и каждый имеет две равные длины.
Мне, к сожалению, не удалось найти хотя бы одну решенную задачу, выполненную математиками Древней Индии. Поэтому попытался сам это сделать.
Первая оказалась довольно простой: решений получаем бесконечно много. Например, такие серии:
(8,9,11),(8,11,17),(8,9,13)
(9,17,16),(9,22,29),(9,17,22) и ровно такие же площади имеют (11,13,16),(13,16,27),(11,13,18)
(13,14,21),(13,21,32),(13,14,17)
и много-много других было найдено вариантов.
Вторая задачка оказалась посложнее на порядок. Составил программу:

Код: Выделить всё

open #2,"3treug-ravn.txt","w"
n=200:n1=1
for a=n1 to n:for b=n1 to n:for c=n1 to n:for d=n1 to n:for f=n1 to n
if a<>b and a<>c and a<>d and a<>f and b<>c and b<>d and b<>f
 and c<>d and c<>f and d<>f then
rem if a<>b and a<>c and a<>d and b<>c and b<>d and c<>d then
x=a:y=b:z=c:p=(x+y+z)/2:s21=p*(p-x)*(p-y)*(p-z)
x=b:y=d:z=f:p=(x+y+z)/2:s22=p*(p-x)*(p-y)*(p-z)
x=a:y=a:z=d:p=(x+y+z)/2:s23=p*(p-x)*(p-y)*(p-z)
if s21=s22 and s21=s23 and s21*s22*s23>0 then
print a,b,c,d,f,s21,s22,s23:print #2,a,b,c,d,f,s21,s22,s23
fi:fi:next f:next d:next c:next b:next a

Получил в итоге пять длин: 27 25 47 21 31 и треугольники: (27,25,47),(25,21,31),(27,27,21). Других решений (речь идет только о примитивных тройках чисел) получить не удалось, как ни старался.
Третий теугольник, очевидно. - как раз равнобедренный. Вот они все на рисунке:

Чтобы не строить треугольники вручную, быстро состряпал прогу в системе Maple:

Код: Выделить всё

with(plots):a:=27:b:=25:c:=47:b1:=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c):xa := 0: ya := 0: xb := a*b1: yb := a*sqrt(1-b1^2): xc := c: yc := 0: A := [xa, ya]: B := [xb, yb]: C := [xc, yc]: AB := [A, B]: BC := [B, C]: AC := [A, C]: p1 := plot({AB, BC, AC}, x = 0 .. xc, y = 0 .. yb, color = black,scaling=constrained,axes=normal,thickness = 3):  display(p1);print(evalf(AB),evalf(BC),AC,evalf(xc*yb/2));

Третья задача оказалась еще трудней. Помог мне коллега под ником Andrey A из форума dxdy.ru. Он, решая несколько иную задачу, попутно выдал как раз то, что мне оказалось нужным. После я проверил по своей проге, записав изменения:

Код: Выделить всё

x=a:y=b:z=c:p=(x+y+z)/2:s21=p*(p-x)*(p-y)*(p-z)
x=b:y=b:z=a:p=(x+y+z)/2:s22=p*(p-x)*(p-y)*(p-z)
x=f:y=f:z=d:p=(x+y+z)/2:s23=p*(p-x)*(p-y)*(p-z)

В результате получились три равновеликих треугольника из которых два - равнобедренные:
(6,7,11),(7,7,6),(19,19,2). Рисунок:

Четвертая задача решена упомянутым Андреем А:
(37,37,54),(42,42,36),(114,114,12)^

Такие у нас сегодня древнеиндийские проблемы...

[/color]

rusak: (рисунок)

Где рисунок? Я не вижу.

Сообщение **rusak** » 06 фев 2017, 10:36

Роксана, понимаешь, я пишу статью с чистого листа, рисунки делаю по ходу... Меня периодически отрывают домашние, понимаешь, родственники

Ну, не могут они без меня ничего.

Счастливые родственники!

rusak: Человек когда-то
Позавидовал птице

rusak: Вы наступили на мой самый больной мозоль.

Мозоль — только женского рода;
Такая мозоли природа.

Сообщение **rusak** » 06 фев 2017, 14:38

Завада: Мозоль — только женского рода

Это я знаю. Заметил сам неувязку, но так она мне понравилась! Прям любуюсь не глядя.
И не только стратегический бомбардировщик получил самолет, а ансамбль имени моей фамилии. Но все равно мне хорошо: каких-то 13 часов - и я в Сейшелах. А с одного острова на другой и вовсе 20 мин.

О! меня 400 раз поблагодарили!
Зо Завады еще пахать надо, но рад - это не 40 менделеевских град.

rusak: рад - это не 40 менделеевских град.

Менделеев к установлению 40-градусного стандарта водки никакого отношения не имел.

http://www.aif.ru/dontknows/eternal/kto ... 0_gradusov

Сообщение **rusak** » 06 фев 2017, 15:25

Завада: Менделеев к установлению 40-градусного стандарта водки никакого отношения не имел

Ну, вот! А мне-то местные алкаши лапшу вешали, таблицей мозги прочищали!

Отправлено спустя 9 минут 3 секунды:
Роксана,
Вы вроде говорили, что занимаетесь программированием. А почему здесь, в моей теме, не пишете о своих достижениях, об интересных расчетах и исследованиях?

rusak: почему здесь, в моей теме, на пишите о своих достижениях

Понятно, что на вместо не — опечатка.
Но пишите — — повелительное наклонение (надо — пишете).

Я же не изобретатель, как Вы, rusak!

Сообщение **rusak** » 06 фев 2017, 17:08

Роксана, Но что-то ведь делаете. Рассчитываете что-то. Подпрограммы какие-то создаете.
Или же только бухгалтерское: 2+2-1 ?

rusak:... Или же только бухгалтерское: 2+2-1 ?

Не только. Но вообще-то программное обеспечение для разного рода отчётов служб пароходства.

Математические зарисовки - Страница 3

Математические зарисовки ⇐ Другие темы о русской словесности и культуре