Математические зарисовки ⇐ Другие темы о русской словесности и культуре

[Роксана]

... Завтра продолжу, если народ не против.

Очень интересно. Спасибо.

[mazurov]

17.

Продолжаю сериал научных зарисовок. Когда я определился еще в институте с направлением своей научной и практической деятельностью (конструкциями портовых сооружений из бетонных блоков-параллелепипедов), то целенаправленно разговаривал с прославленными специалистами-практиками в области портостроения. Их рекомендации легли в основу математической модели оптимизации. Целевая функция - использование всего двух-трех типов блоков для конкретной конструкции. Ограничения же хорошо изложены в действующих СНиП, ВСН и РД. Они касаются вопросов о предельно допустимых соотношениях габаритов блоков, размеров перекрытий швов между курсами и рядами кладки и др. Еще на четвертом курсе обучения мне удалось доказать, что возможно создавать множество кладок из трех типов бетонных массивов. Выступал на студенческих конференциях страны и за рубежом (Польша, Румыния, Чехия). Надо сказать, что конференции играют колоссальную роль в совершенствовании научных и практических знаний. В результате удалось разработать уникальные структуры из правильных кладок. Получил за них патент на изобретение (а.с. № 658209 "Стена морского оградительного сооружения из массивовой кладки"), методика расчетов вошла в основные книги для студентов и проектировщиков. В аспирантуре продолжил выбранное направление и вышел совсем на другой уровень. Рывок произошел, когда удалось создать теорию по конструированию простейших кладок из блоков всего двух типов. В "Зарисовке" 137 я осветил один из разделов теории, а здесь хочу коснуться второй, не менее важной, стороне: проектированию простейших кладок из двух типов блоков разного веса.
Идею мне подсказала совсем недавно доказанная математиками проблема четырех красок
http://sitekid.ru/matematika/problema_c ... rasok.html
На основании доказанной теоремы возникла идея создавать кладки из четырех рядов. Чтобы популярно все объяснить, рассмотрим конкретный пример. Пусть имеются два вида блоков одинаковой высоты h и со сторонами 4 х 5 и 3 х 5. Длина рядов одинакова и, допустим, равна 25. Длина эта кратна одному из размеров, то есть пяти. Два ряда легко формируются: первый ряд - это пять блоков 3 х 5, второй ряд - пять блоков 4 х 5. Назовем их Ряд 3 и Ряд 4, как показано на рисунке (если смотреть на них сверху):



Теперь рассмотрим два курса рядов сбоку:



Тут видим, что можно сколь угодно много раз подключать заштрихованную вставку и тем самым создавать кладку хоть бесконечной ширины B. Теперь внимание! Ряды 4 и 3 имеют швы через каждые 5 единиц. Если за начала отсчета взять торец, который мы видим (оранжевого и желтого цветов), то швы будут иметь координаты 5, 10, 15, 20. Если это ясно, то идем дальше. Ряды шириной 5 (с индексами 1 и 2) составлены из блоков 3 х 5 и 4 х 5. Задача состоит в поиске таких очередностей установки этих двух блоков, чтобы, во-первых, координаты швов не совпадали друг с другом и, во-вторых, с координатами 5, 10, 15, 20.
Как была решена эта интереснейшая задача, расскажу в следующий раз.

[mazurov]

18.

Итак, проблема четырех красок в полной мере реализована в торцах рядов. Если посмотреть на все варианты, то видим: ни одна одинаково окрашенная область не соприкасается друг с другом. Перекрытия между рядами идеальные, основательные. Вопрос только в поиске очередности установки блоков в двух рядах шириной 5. Легко решить проблему позволила так называемая Комбинаторная Матрица Сложения или КМС. У нас ширины блоков 3 и 4 и на базе этих двух цифр КМС строится. Это очень просто;



Сама матрица строится так: по горизонтали - арифметическая прогрессия с шагом 3, по вертикали - арифметическая прогрессия с шагом 4. Кружками отмечены запретные координаты швов, которые нужно огибать. В квадратах - конечный пункт, то есть длина рядов L=25, Ходить можно только направо или вниз. Ни одно число, кроме первого и последнего, в двух путях не должны совпадать. Совпадают, естественно. 0 и 25. Желательно делать как можно меньше поворотов. Верхний вариант более предпочтительный, поскольку число стрелок (а следовательно и блоков) на одну меньше. Мы получили следующие ряды и один из вариантов совмещенных планов курсов:



Профиль волнолома схематично выглядит так:



Я издал довольно солидную монографию, в которой поместил банк 906 математических кладок. Этого набора вполне достаточно, чтобы запроектировать секцию волнолома для любых задаваемых параметров: B, L, h, веса наибольшего блока,
Составлена программа, позволяющая все рассчитать и вывести готовый рабочий чертеж кладки.
Сказанное стало бы невозможным, если бы не был найден безразмерный Критерий Кладки, который я обозначил буквой K. Его значение трудно переоценить. По своей сути он играет в кладках такую же роль, как Число Рейнольдса Re в гидравлике (определяет границы, между которыми режим движения жидкости может принимать ламинарный или турбулентный характер). Думаю, я найду время и силы популярно изложить здесь процесс поиска критерия кладки и показать всю красоту его применения при проектировании структур из блоков.

[mazurov]

19.

Сегодня закончил композицию. Это память о моем первом идеальном магическом квадрате, полученном лет 10 назад.
Фотография на холсте, который натянут на подрамник

[rusak]

20.

Теперь о самом главном в проектировании кладок - о критерии кладки. Читатель наверняка понял, что мало выявить математическую кладку: нужно ее еще обратить в реальное сооружение. То есть найти в метрах или сантиметрах габариты блоков, их веса, размеры перекрытий... . Иными словами, необходим критерий соответствия реальной кладки с математической. Желательно еще, чтобы критерий этот был безразмерным. Раздумья над данным основополагающим вопросом растянулись на целый год, исписаны килограммы бумаги. Только после этого пришло озарение и вся задумка вместилась на половине листа формата А4. Прежде чем показать результат, особо подчеркну:
1) все параметры красного цвета - это характеристики реального сооружения и они имеют физическую размерность;
2) все параметры черного цвета безразмерны и целочисленны и относятся только к математической кладке:
3) плановые габариты J x I относятся к наибольшему из двух типов блоков.
Итак, посмотрите внимательно:



У нас имеются 906 математических кладок. Обычно в практике проектирования количество курсов N варьирует в проделах от трех до десяти. То есть от одной математической кладки будем получать восемь различных значений критерия K. Банк включает в себя 906 математических кладок, следовательно получено 7248 вариантов K. Такого массива критериев кладки вполне хватает, чтобы успешно запроектировать любую реальную секцию волнолома ( можно и опоры моста, фундамента или даже постамента для памятника).
У меня накопились сотни, а возможно и тысячи примеров расчетов конструкций из простейших кладок. Здесь, думаю, нет необходимости засорять зарисовки. Можно вполне такое совершать при встречах, например в кафе или даже баре.

[rusak]

21.

Все время мысленно благодарю нашу Марго за увлекательную эту тему "Зарисовки"! Только что прошелся по всем страничкам и получил истинное наслаждение. Кстати, интересными очень оказались и комментарии, хотя автор темы постоянно одергивала любителей пошутить или покритиковать.
Но со странным исчезновением Марго тема заглохла. Я решил, что не допущу ухода в небытие многих десятков историй замечательных любителей словесности. Да и давно уже мечтаю популярно изложить все то, что мне удалось достичь в науке, которой я предан до красных кровяных телец. Возможно и надоел своей парой страничек с математическим уклоном, но если есть новое знание, то почему бы о нем не рассказать?
Очень хочется написать книгу о том, как делаются открытия. Например, как это удалось великому Генриху Сауловичу Альтшуллеру, с которым судьба меня свела в далеком 1970 году, когда он пропагандировал свой знаменитый ТРИЗ (теорию решения изобретательских задач). Мы с Альшуллером имели много часов бесед после конференции в Баку. Более увлекательных рассказчиков в жизни не видывал. Его теория меня так покорила своей необычностью, что решил еще со студенческих лет применить ее не только в технике (у меня 9 авторских свидетельств на изобретения), но и в математических изысканиях . Закон мышления ведь одинаковый в любой области творчества и познаний. Главное - не стесняться и находить новые грани даже на заезженных веками пластинках.
Вот, скажем, треугольник. Ну что еще в нем можно обнаружить нового? Его за три тысячелетия перепахали величайшие гении, таланты и просто одаренные личности. Одних особых точек открыли более сотни! Но я все же набрался наглости, и с помощью упомянутой ТРИЗ обнаружил неизвестное ранее свойство простейшей геометрической фигуры. Посмотрите сами:



Суть проста, как валенок: ножку циркуля ставим в любой вершине и делаем дуги от двух противолежащих вершин на соответствующие стороны или их продолжения. Запоминаем точки пересечения. И так - для всех трех вершин. В итоге будем иметь 6 точек пересечения. И тут самое интересное! Если внимательно рассмотреть все шесть точек, то обязательно найдутся три пары точек, через которые проходят три параллельные линии! Они на рисунке зеленого цвета. Налицо штрихкод треугольника! Я сначала не поверил, думал, что все это случайно, но аналитика четко доказала: линии действительно параллельны и их наклон, а также расстояния друг от друга, однозначно определяются только формой треугольника. На рисунке изображен прямоугольный треугольник, но правило работает для произвольного. Рассмотрел также и обратную задачу: задавался тремя параллельными линиями и строил соответствующий треугольник. Но оказалось, что в этом случае соответсвие будут иметь два треугольника. И только два. Полученные формулы, конечно же, опубликовал, наш препод Марк Иванович Сканави заставил выступить с открытием на конференции, решение поместили даже в какой-то газете.

[rusak]

22.

Давно это было. По телеку уже не первый раз показывали мультфильм про то, как важно следить за водопроводным краном. Его необходимо проверять и предусмотрительно закрывать. Особенно, если уезжаешь по делам надолго. Иначе могут возникнуть неприятности. Например затопление собственной квартиры и нижележащих этажей.
Захотелось сочинить стишок по мотивам данного мультика. Компактный такой, оригинальный и легко запоминающийся. Взял блокнот, карандаш и довольно быстро родилось следующее четверостишие:

Будь сух, как банный лист! И пота не жалея,
Повсюду воду экономь: на кухне и в сортире.
А собираясь в дальний путь, к Создвездью Водолея,
Проверь - закрыт ли кран в твоей земной квартире ?

Ну, написал и написал. Но в памяти стих намертво остался. И однажды оказался на дне рождения соседа по дому. Фамилия у него Водолей. Аркаша Водолей. Хороший такой дядька. Работал как раз банщиком в Центральных Банях. Ну, прямо он в точку попал! Зарабатывал естественно на порядок больше, чем я - младший научный сотрудник. Поэтому и гостей было много, и стол ломился. Все как обычно. Произносили тосты, выпивали, говорили обо всем. Тут вдруг меня толкают локтем - мол, давай тост! Твоя очередь! А я в тостах, прямо скажу, - не очень. Ни один не помню, да и рассказываю их неинтересно. В голове паника: как быть? Медленно встаю и вдруг вспоминю о стихе! В нем же и баня, и созвездие такое родное для Аркаши. Стихи я как раз декламирую прекрасно. Не хуже Евгения Евтушенко. А начал так: "Внимание - экспромт!". И выдал с максимальным артистизмом. Тут что было! Ну, можете сами представить.

[Князь Мышкин]

... Будь сух, как банный лист!..

Не всегда банный лист сух, как правило, совсем наоборот.
Иной раз никак и не отстанет...

[rusak]

Не всегда банный лист сух, как правило, совсем наоборот

Есть же известный мем: "сухой, как банный лист". У меня как раз от него

[Бакенщик]

Есть же известный мем: "сухой, как банный лист".

Мне кажется, тут путаница с "сухим листом" Лобановского.

[rusak]

Мне кажется, тут путаница с "сухим листом" Лобановского

Нет, не он. Оригинал - от Алексея Петренко. Он, правда, причитал: "Сухой, как лист". А "банный" я добавил почему-то и как-то. Может, послышалось, когда смотрел по телеку запись передачи "Вокруг смеха".
Ну... - так уж получилось. Скоро, значит, моя фраза распространится по миру на всех языках.

[rusak]

23.

На десерт - моя последняя Зарисовка по математике. Она очень сложная, и поэтому пришлось приложить много усилий, чтобы упростить до уровня понимания старшеклассником. Речь пойдет о так называемых цепях Александрова.
В теории вероятностей хорошо известны цепи Маркова. Общее определение ее следующее:
"Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени."
Для цепи Александрова определение будет иным:
Цепью Александрова с числами натурального ряда без повторов называют цепь, изменение которой по определенному правилу приводит к созданию идеального магического квадрата.
Надо сказать, что активным поиском как раз второй цепи занимался великий Эйлер. Он уловил важную особенность построения многих магических квадратов, а именно возможность найти лучшие решения ходами шахматного коня, то есть буквой Г. Решить поставленную задачу Эйлер не смог по очень простой причине: в его время не было компьютеров. А без перебора миллионов вариантов добиться поставленной цели невозможно. Даже имея семь пядей во лбу.
Начал я поиски для самого простого случая - квадрата порядка 5. На понимание задачи, составления плана действий ушел целый месяц. Компьтер работал днем и ночью. И удача, наконец, улыбнулась. Были найдены необходимая цепь чисел и идеальный магический квадрат (ИМК). Вот как он выглядит:


Для этого варианта цепь Александрова следующая:

1 5 2 3 4

Первая цифра всегда над центральной ячейкой. Ходы идут конем (две клетки направо и одна вниз). Последовательно проставляем числа указанной выше последовательности. После пятого хода опускаемся вниз через ячейку и ставим число, вычисляемое по формуле: (5-1) х 5 +1=21, далее делаем ход конем и ставим число (5-1) х 5 + 5= 25 и так далее. Подчеркнутые числа берутся как раз из цепи.
Сначала меня интересовали только ИМК нечетного порядка. Ведь бытовало мнение, что невозможно построить ИМК порядка 4k. Когда один пример нашелся, дело пошло уже быстрее. За неделю удалось найти цепи для порядков 7, 9 и 11. Началась вырисовываться некая закономерность. Уже после этого решения пошли, как из рога изобилия. С квадратами нечетного порядка вопрос закрылся. Но дерзкая мысль попытаться найти решения и для четных матриц заставила меня сделать множество самых невероятных попыток. Переборором всех вариантов убедился, что ИМК четвертого порядка методом цепи построить не удастся. Все силы направил на поиски ИМК порядка 8. Чтобы не лопатить месяцами миллиарды вариантов простым перебором, я решил применить метод Монте-Карло. То есть случайым образом составлял цепь натуральных чисел и смотрел, к чему это приводило. И рыбка все же попалась на удочку! Я кричал "Эврика!", как известный всем Архимед. Ну а дальнейшее было уже делом анализа, логических построений, удачных поисков. Родилась и теория построения цепей Александрова. Она опубликована в многочисленных статьях как в бумажном, так и в электронном виде. Например, здесь можно увидеть почти три десятка моих цепей:
http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A6%D0%B5% ... 0%B2%D0%B0
Ну, а более полное знание этого вопроса с программами на компьютере смотрите тут:
http://renuar911.narod.ru/IMS_Alexandrov.html

[Завада]

Возможно и надоел своей парой страничек с математическим уклоном, но если есть новое знание, то почему бы о нем не рассказать?

Украинский ученый Марина Вязовская получила «Премию Салема 2016» — престижную математическую премию, которую ежегодно присуждают молодому математику за выдающиеся результаты исследований в сфере научных интересов Рафаэля Салема.

Комиссия присудила премию девушке за ее открытия мирового уровня — по плотной упаковке шаров в 8- и 24-мерных пространствах с использованием методов модульных форм. В 2016 году она решила задачу, над решением которой ученые работали несколько веков: упаковка шаров в 8-мерном пространстве и, в соавторстве — в 24-мерном.

Ранее задача упаковки шаров была решена лишь для пространств с тремя и менее измерениями. Марина Вязовская закончила Киевский естественнонаучный лицей № 145 и механико-математический факультет Киевского национального университета имени Тараса Шевченко.

В 2010 году защитила кандидатскую диссертацию в Институте математики НАН Украины на тему «Неровности для полиномов и рациональных функций и квадратурные формулы на сфере», а в 2013 году получила степень доктора естественных наук в Боннском университете, защитив диссертацию «Модулярные функции и особые циклы».

http://moygrad.kiev.ua/2017/01/26/kievl ... u-premiyu/

[rusak]

24.

Значение индийской науки для Запада невозможно переоценить. Большинство великих открытий и изобретений, которыми гордится Европа, были бы невозможны без созданной в Индии математической системы. Если говорить о влиянии, которое оказал на мировую историю неизвестный гений , изобретший новую систему, и о его аналитическом даре, можно считать самым значительным после Будды человеком, которого когда-либо знала Индия. Средневековые индийские ученые, такие как Брахмагупта (VII в.), Махавира (IX в.), Бхаскара (XII в.), в свою очередь, сделали открытия, которые стали известны в Европе только в эпоху Ренессанса и позднее. Они оперировали положительными и отрицательными величинами, изобрели изящные способы извлечения квадратного и кубического корней, они умели решать квадратные уравнения и некоторые типы неопределенных уравнений. Арь-ябхата вычислил приблизительное значение числа π , которым пользуются и сегодня и которое является выражением дроби 62832/20000 , то есть 3,1416. Это значение, гораздо более точное, чем вычисленное греками, доведено индийскими до девятого десятичного знака. Они сделали ряд открытий в тригонометрии, сферической и исчислении бесконечно малых, в основном связанных с астрономией. Брахмагупта дошел в изучении неопределенных уравнений дальше того, что Европа узнала к XVIII в. В средневековой Индии прекрасно понимали математическую взаимосвязанность нуля (шунья) и бесконечности. Бхаскара, опровергая своих предшественников, утверждавших, что x / 0 = x, доказал, что результат — есть бесконечность. Родился он в 1114 году, умер в возрасте 71 года.
Он умел находить удивительные для того времени тождества. Например, такое:



Сейчас раскусить подобный фокус элементарно. Методом неопределённых коэффициентов я легко составил общую формулу:



Но недавно продолжил на досуге подобное занимательное направление игры с радикалами и теперь научился осуществлять более интригующие упрощения:



Как такое получено, пока не могу говорить. Нужно написать и опубликовать статью.
Чудеса теории чисел безграничны!

[rusak]

25.

Над задачей Эйлера думают с 1747 года. Думал над ней в начале ХХ в. и индийский гений Рамануджан. Он дал свое лаконичное, очень красивое (хотя и далеко не полное) решение:



Здесь числа а и b - целые.
Еще в студенческие годы мне удалось найти редкую книгу, в которой описывалось, как индус пытался развить данное направление путем поиска иных числовых коэффициентов. Но увы, никаких других вариантов не выудил.
Чуть позже мне посчастливилось сдвинуться с мертвой точки: нашел несколько новых решений. Тут нужно отметить тот факт, что тогда данную задачу можно было решать только в лоб, то есть производить перебор всех чисел до технически реального предела. Тогда моим пределом было число 100. То есть максимальные значения коэффициентов а и b не больше по модулю, чем сто. Иначе считать приходилось бы месяцы.
В итоге выявил двенадцать серий рамануджановского типа:



В первом квадрате - как раз решение великого индуса. Все остальные - мои.
Стало понятно, почему Рамануджан не находил другие варианты. Дело в том, что если не менять структуру формул и сохранять относительность величин параметров, то его решение единственное . Я варьировал параметрами а и b в пределах от плюс-минус до 5000, но потуги оказались тщетными. С другими коэффициентами его схема не срабатывала.
Мои варианты - это три иные схемы соотношений величин коэффициентов и для них число вариантов, скорее всего, бесконечно. Стало даже жалко Рамануджана, поскольку из четырех схем он выбрал безродную.
В начале 2000 г. мне удалось вывести рекуррентные формулы, позволяющие находить все без исключения четверки Эйлера и с помощью их получаются уже миллионы выражений трех видов структур, подобных тем двенадцати решений. что я выше привел. Эта рекуррентная формула уже облетела весь научный мир и выглядит так:



Забыл сказать о знаменательном для меня событии: был приглашен в Делийский университет на конференцию, посвященную 120-летию со дня рождения Сриниваса Рамануджана. Это было в декабре 2007 года. В Москве было около 0С, а в Дели +25. Меня пригласили, поскольку опубликовал в "Трудах" ихних 2 большие статьи. Так совпало, что я только-только закончил глобальное исследование уравнения Эйлера и много страниц в готовящейся монографии посвятил как раз индийскому асу теории чисел. Конференция была необычной: для ее участников разыгрывался конкурс на лучшее развитие наследия Рамануджаны. То есть был перечислен ряд задач, которые юбиляр решил не полностью. В числе их оказался и поиск других серий решения уравнения Эйлера. Подготовив быстро слайды, отправился в дальнее путешествие. Выступал с переводчиком. Основной слайд сохранился в моем компе:



Это все мои решения при условии, что максимальное число в матрице не больше 30. Так было оговорено в условии конкурса. Меня наградили дипломом за вклад в развитии диофантовых уравнений. Очень красочным. Надо будет его поискать дома.
О, какая приятная неожиданность! Когда-то я написал статью для журнала (кажется, для "Кванта"), но затем потерял ее, а копию на внешних носителях не сохранил. Вот сегодня погуглил тему и обнаружил перепечатку этой моей статьи в школьном украинском блоге. Наверное, из-за того, что поместил результаты исследований выдающегося украинского математика Линника. В статье этой подробно описаны мои 3 модели, история их получения и т.д. См. по ссылке http://olimpmath.blogspot.ru/2014/09/blog-post_7.html
По поводу данных трех схем написал в конце статьи: "несмотря на обилие структур, они все же не охватывают полное множество четверок Эйлера." Однако, спустя несколько месяцев, я более внимательно прокрутил свою рекуррентную модель и доказал, что она охватывает как раз полное множество. Написал по этому поводу главу большой книги "Математика для вундеркиндов".

[rusak]

26.

На форуме dxdy недавно появилась тема по поводу анализа сложных полиномов. Один из участников признался, что самым трудным для него был многочлен десятой степени y=x^(10)+x^5+1 . Невероятно тяжело было искать все десять корней. Меня такое откровение крайне заинтриговало и я рискнул попробовать раскусить этот твердый орешек. Сделать факторизацию оказалось вполне по силам:
x^(10)+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
Квадратный трехчлен дал первые два корня и, следовательно, две точки на комплексной плоскости:



Теперь необходимо разобраться с полиномом восьмой степени. Но я сказал себе: "Стоп! Это ложный путь. Путь в дебри алгебры. Нужно найти новый подход".
(завтра продолжу исследование)
Скажу честно: я не знаю, смогу ли решить полностью эту задачу. То есть в режиме реального времени сейчас займусь творческим поиском. Риск большой, но мне-то не привыкать. Бывали риски посерьезней. Почти такие, как у Штырлица, когда он сидел в комнате и мучительно изобретал правдивую историю появления отпечатков на ручке чемодана.
Итак, новый подход. Тут важен очень упрощающий момент. Вид полинома десятой степени таков, что окружность на комплексной плоскости имеет радиус, равный 1. Это я знал с давних времен. Например, такая же окружность будет при рассмотрении биквадратного полинома x^4+x^2+1. Это означает, что данная окружность аналогична тригонометрическому кругу! Иными словами, можно будет применить геометрический подход к поиску комплексных корней! Нужно только найти еще хотя бы одну пару сопряженных корешков. На рисунке мы видим, что левый сектор значительно уже, чем остальная часть круга. Наверняка именно внутри его может оказаться одна пара сопряженных корней. Значит, действительная часть чисел будет близка к минус единице. Примем начальное значение минус 0.98. Комплексную часть вычислим по Пифагору. Так... Сейчас в Maple составлю коротенькую прогу расчета точного значения коэффициентов одного из сопряженных корней:

Код: Выделить всё

 with(stats): a0 := -.98: b0 := sqrt(1-a0^2): w := 0.1e-5: s1 := 10^20: for n to 9000000 do a := a0*(1+w*(stats[random, normald](1)-.5)): b := b0*(1+w*(stats[random, normald](1)-.5)): x := a+I*b: r := abs(x^10+x^5+1): if r < s1 then s1 := r: a0 := a: b0 := b: end if end do: print(a, b, x, s1);

Так... девять миллионов циклов программа будет крутить, опытно говоря, около часа. Пойду пока перекушу, послушаю "Эхо Москвы".
Ух, немного я ошибся. Мой восьмиядерный комп пахал полтора часа и дал желаемое. Такой результат:
-0.9781476005, 0.2079116906, 1.522782991 10^(-12)
Это означает, что имеем еще два сопряженных комлексных корня:

Точность вычисления оказалась 12 цифр после запятой! Я закрасил области желтым и зеленым цветом, чтобы найти угол этого закрашенного сектора. И вот для чего. Если мы рассмотрим биквадратное уравнение, имеющее ту же самую структуру, что и наш грандиозный многочлен, то легко найдем все четыре корня и, следовательно, геометрию на комплексной плоскости. Вчера я заранее сделал рисунок, - он мне сейчас как раз пригодился:

Видите, тут я тоже закрасил подобные области и хорошо видно, что обший угол 180 градусов. Если повернуть по часовой стрелке эту закраску, то она в точности совпадет с белой частью.
Так и в нашем случае по идее должно быть: закрашенная область какое-то целое число раз уместится в белой области. Для этого и нужен угол сектора. Найти углы бета и альфа очень легко через арктангенсы отношения координат соответствующих красных точек. Сейчас я это быстро сделаю и покажу. Бета, очевидно, равен 60 град., альфа оказался равным ровно 12 град. Итак, угол бета плюс альфа получился 72 градуса. А это как раз пятая часть от 360 град.! Значит, план такой: четко нанести еще 4 сектора с красными точками решений полинома и вычислить координаты этих красных точек! Будем как раз иметь все нужные 10 корней! Немного прервусь, тщательно все рассчитаю и дам окончательный рисунок.
Всё! Получил еще 6 корней (над чертежом)

Проверил подстановкой в исходный полином - все ОК! Нашлись почти чисто геометрически комплексные корни. Я, честно говоря, такого нигде не встречал в книгах.
Теперь хорошо бы понять: десятичные эти числа можно выразить через радикалы?
Но только завтра!
Ой, ну какие радикалы? Проще всего выражать через тригонометрию! Вот комплексная плоскость и расчет углов радиусов-векторов красных точек:



Красные углы, естественно отмеряются от положительной оси Re(x)

Теперь вооружаемся тригонометрией и находим координаты красных точек, которые являются комплексными корнями нашего полинома:



Проверим эти корни в Maple:

Код: Выделить всё

x := cos(2*Pi*(1/15))+I*sin(2*Pi*(1/15)); simplify(x^10+x^5+1); x := cos(2*Pi*(1/15))-I*sin(2*Pi*(1/15)); simplify(x^10+x^5+1); x := sin(7*Pi*(1/30))+I*cos(7*Pi*(1/30)); simplify(x^10+x^5+1); x := sin(7*Pi*(1/30))-I*cos(7*Pi*(1/30)); simplify(x^10+x^5+1); x := -sin((1/30)*Pi)+I*cos((1/30)*Pi); simplify(x^10+x^5+1); x := -sin((1/30)*Pi)-I*cos((1/30)*Pi); simplify(x^10+x^5+1); x := -1/2+(1/2)*sqrt(3)*I; simplify(x^10+x^5+1); x := -1/2-(1/2)*sqrt(3)*I; simplify(x^10+x^5+1); x := -cos((1/15)*Pi)+I*sin((1/15)*Pi); simplify(x^10+x^5+1); x := -cos((1/15)*Pi)-I*sin((1/15)*Pi); simplify(x^10+x^5+1);

У кого есть этот гигант математики, тот может скопировать, кликнуть Enter и удостовериться, что подстановка в полином даст 10 нулей. Все 10 корней найдены! Компактно и абсолютно точно.
Но и в радикалах можно, оказывается, выразить наши синусы и косинусы. Достаточно в Вольфраме Альфа набить, например, cos(24) и появится желаемое:



В красной раме как раз довольно сложный радикальный коэффициент. Можно, конечно, попробовать все тигонометрические выражения заменить, но зачем? Будет более громоздко.
Раз мы затронули вопросы комплексных чисел, то в следующей математической зарисовке подробно расскажу о своем видении этого зверька.

[/color]

[Сергей Титов]

завтра продолжу исследование

rusak, а не желаете ли создать собственную тему? Такую, например: "математические зарисовки". Название, я думаю, Вы подберёте.

[rusak]

Сергей Титов, да, конечно! Был бы Вам признателен за новую тему и такое название!
Я сам не сумею все отделить и перенаправить.

----------
Спасибо, Сергей! Теперь меня много не будет в "Зарисовках", а будет свой дом

[Сергей Титов]

rusak, по-моему, Вы уже являетесь автором темы...

[водица]

usak, по-моему, Вы уже являетесь автором темы...

Только следует отредактировать порядковые номера...

[rusak]

Сергей Титов !
Да, конечно! Только еще одна просьба: Перекинуть ко мне и зарисовки 133 - 136.
И у меня, в "Математических зарисовках", затесалась 149 зарисовка Nastasya F.. Ее бы логично вернуть в "Зарисовки".
Правда, нумерация станет нарушена. Не знаю, как с этим быть

водица,
в своих зарисовках я, конечно, порядок наведу.

[Сергей Титов]

Не знаю, как с этим быть

А у Вас это не получается — изменить номера?

[rusak]

Сергей Титов,
У себя я изменю. Я волнуюсь за "Зарисовки"
Да и попутно: удаляйте наши последние разговоры здесь - они же память съедают и никакого от них прока

[Сергей Титов]

меня много не будет в "Зарисовках", а будет свой дом

У вас теперь будет дом, который начал строить mazurov, но свой, без сомнения.

[Сергей Титов]

Мне кажется, тут путаница с "сухим листом" Лобановского.

Справедливое замечание.


"Сухой лист"