Брюхо не заполнено ложками. Упаси господь. Ложка заполнена кашей/патокой/супом. "Есть полной ложкой" = "зачерпывать полную ложку того, что едят". Ложка в данном случае -- это мера съедаемого. То же самое отношение для воздуха и груди, радостей жизни и чаши.
Применительно к цитате из Горького имеем:
хлебал что? -- горе
хлебал чем? -- сердцем (здесь метафора)
хлебал как? -- полной мерой
=> хлебал горе полным сердцем...
P.S. Не нравится вам такое объяснение -- не принимайте.
Мобильная версия

