Математические зарисовки ⇐ Другие темы о русской словесности и культуре

[rusak]

Начал создавать книгу "Расчет трапеции". Первые 30 ситуаций напечатал в Ворде. Показываю первую страницу:



А еще ох как много вариантов! Но для меня главное - начать.

[rusak]

Для шестиклассников в "Кенгуру" много сложных задач. Одна из них:

Получив очередную пятерку по математике, Сережа обнаружил, что в дневнике у него стало на 100% больше пятерок, чем двоек. На сколько процентов количество двоек теперь меньше, чем количество пятерок?

Не каждая мама с папой такое одолеют. Этими процентами и числами я в молодости играл, развивал теорию и даже где-то публиковал. Вчера вспомнил алгебраические забавы и без проблем вывел интересные и важные соотношения. С их помощью никакая кенгуру рога не наставит.

[rusak]

Закончил очередную математическую картину "Воспоминание о Гизе". Выполнена на трех листах настоящего папируса. Акриловые краски французского производства. Подарок моему египетскому коллеге, который помешан на кладках из блоков. Размеры двух видов блоков дал древнеегипетскими числами. Веса всех блоков одинаковые. Левый рисунок - первый курс кладки, второй рисунок - смежный курс и на третьем рисунке - совмещенные планы двух курсов.

[rusak]

Простейшие кладки продолжают удивлять. Удалось найти две математические компоновки одинаковой длины, одинаковой ширины и с одинаковыми тяжелыми блоками. Коэффициенты использования крана у них тоже совпадают! Разница только в размерах легких блоков и их количестве.
Специалисты отдали предпочтение первому варианту. Опыты в волновом лотке это подтвердили.



Я уже говорил, что создал уникальный программный продукт по расчету кладок. В мире такого даже близко нет. Так вот: ко мне обратились проектировщики из порта Восточный, чтобы выявить все структуры из блоков-параллелепипедов для таких исходных данных: ширина секции 9.18 м, длина 16.83 м, высота 10.40 м. Грузоподъемность плавучего крана 100 тонн. Плотность бетона 2.40 тонн на кубометр. Между блоками швы принять 2 см.
Для загрузки программы с именем "KLADKA(0).yab" прежде необходимо заполнить текстовой исходный файл "INPUT.txt":
Alexandrov
1, 100
2, 9.18
3, 16.83
4, 10.40
5, 1
6, 1
7, 1
8, 2.4
9, .02
10, .6
11, .9
12, 3
13, 170
14, 600
15, 100
1 m - грузоподъемность крана в тоннах
2 ширина секции Во в метрах
3 длина секции Lo в метрах
4 высота кладки Н в метрах
5 процент увеличения / уменьшения массы тяжелого блока - delm
6 процент увеличения / уменьшения ширины секции - delb
7 процент увеличения / уменьшения длины секции - dell
8 cредняя плотность бетона в воздухе в т/куб.м - r
9 cредний размер швов между блоками в метрах - t
10 минимальное перекрытие швов по длине секции при m=100 т - dln
11 минимальное перекрытие швов по ширине секции при m=100 т - dbn
12 коэффициент послабления соотношений габаритов блока и перекрытий швов - k_poslab
13 - 15 параметры изменения окна для графики - ob0 , l0max , dell0

Для этих данных система обнаружила три варианта :

Alexandrov

Bo = 9.2 Lo = 16.8 H = 10.4 m = 100
del_m = 1 % del_Bo = 1 % del_Lo = 1 %

N ... Bo ... Lo .. l1 .. b1.. l2 .. b2 .. h .. m ..m1 . K_kran . dl . db
------------------------------------------------------------------------------------------
252 9.28 16.72 5.56 4.32 5.56 3.70 1.73 99.7 85.4 0.916 0.60 1.84
910 9.16 16.81 5.59 3.55 5.59 3.04 2.08 99.1 84.8 0.955 0.49 2.02
911 9.16 16.81 5.59 3.55 5.59 2.53 2.08 99.1 70.6 0.955 0.49 2.02


По запросу программа выдает сразу рабочие чертежи:




Два последних варианта - это как раз структуры, которые мы в самом начале поста рассматривали. Только тут уже не математические кладки, а реальные. Размеры даны в метрах.

[rusak]

В одном из математических форумов была предложена задача из теории чисел:
Будем называть четырехзначное число Интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трех других из них. Например, Интересным числом является 3111.
а) Сколько всего таких чисел существует?
б) Какие конкретно разницы Интересных чисел образуются 23-мя вариантами?
в) Какую наибольшую разницу могут иметь два Интересных числа?
г) Какие разницы Интересных чисел имеют максимальное число вариантов (и какое оно)?
Теория, как мне кажется, тут бессильна. Только комбинаторика и только при помощи программ.
Составляю программу, которая ответит сразу на вопросы а) и б). Причем на второй вопрос - в самом общем виде. Язык программирования Yabasic:
rem ПРИ КАКОЙ РАЗНИЦЕ k ДВУХ ИНТЕРЕСНЫХ ЧИСЕЛ ИМЕЮТСЯ n0 ВАРИАНТОВ
rem ЭТИ ВАРИАНТЫ НАЙДЕМ ПО ВТОРОЙ ПРОГРАММЕ "1113b.yab"
n0=23
m=8598
open #2,"k0_23.txt","w"
dim p(100000)
for a=1 to 9
for b=1 to 9
for c=1 to 9
for d=1 to 9
if d=a+b+c then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
if c=a+b+d then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
if b=a+c+d then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
if a=b+c+d then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
next d
next c
next b
next a
print #2,s;:print #2," - VSEGO INTERESNIX CHISEL"
for i=1 to s
next i
for k=1 to m
n=0
for i=2 to s
for j=1 to i
k1=p(i)-p(j)
if k=k1 then n=n+1
fi
next j
next i
for i=2 to s-1
for j=i+1 to s
k1=p(i)-p(j)
if k=k1 then n=n+1
fi
next j
next i
if n=n0 then
print k
print #2,k
fi
next k
После довольно длительных расчетов (около 20 минут) появились результаты:
336 - всего Интересных чисел

439
648
668
675
677
956
1460
2340
2430
Итак, если разницы между Интересными числами будут либо 439, либо 648 и т.д. , то количество пар таких Интересных чисел будет ровно 23. Чтобы это доказать, составим чуть преобразованную программу:
k=439
open #2,"439.txt","w"
dim p(100000)
for a=1 to 9
for b=1 to 9
for c=1 to 9
for d=1 to 9
if d=a+b+c then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
if c=a+b+d then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
if b=a+c+d then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
if a=b+c+d then s=s+1:p(s)=a*1000+b*100+c*10+d:fi
next d
next c
next b
next a
for i=1 to s
print p(i);
next i
for i=2 to s
for j=1 to i
k1=p(i)-p(j)
if k=k1 then n=n+1
print n,p(i),p(j):print #2,n,p(i),p(j),p(i)-p(j):fi
next j
next i
for i=2 to s-1
for j=i+1 to s
k1=p(i)-p(j)
if k=k1 then n=n+1
print n,p(i),p(j):print #2,n,p(i),p(j),p(i)-p(j):fi
next j
next i

Например, при разнице 439 между Интересными числами оказались следующие 23 пары:

1 1614 1175 439
2 1618 1179 439
3 1724 1285 439
4 1834 1395 439
5 2158 1719 439
6 2163 1724 439
7 2273 1834 439
8 2383 1944 439
9 2613 2174 439
10 2723 2284 439
11 2833 2394 439
12 3162 2723 439
13 3272 2833 439
14 3382 2943 439
15 3612 3173 439
16 3722 3283 439
17 3832 3393 439
18 4161 3722 439
19 4271 3832 439
20 4381 3942 439
21 4611 4172 439
22 4721 4282 439
23 4831 4392 439

При помощи этих программ удалось установить, что максимальное число вариантов 112. Такое число вариантов будет, если разницы Интересных чисел следующие:
9, 11, 101, 110, 900, 990, 999, 1001, 1010
Самая же большая разница - это 8598. По второй программе получим:
1 9711 1113 8598
Тут только один вариант. Его, правда, можно найти и в уме.

Итак, задача решена полностью.

20 минут назад получил письмо от Инессы из Америки. Она интересуется, а при каких разностях ИЧ (Интересных чисел) наблюдается только один вариант, кроме упомянутой выше 8598 ? И хорошо бы посмотреть, как эта единичная разница образуется. Я дам первые шесть примеров. Итак - по одному варианту возможны следующие пары ИЧ и их разницы:
1214 - 1179 = 35
1311 - 1269 = 42
1311 - 1197 = 114
1269 - 1113 = 156
1412 - 1179 = 233
2114 - 1791 = 323
и т.д. Аналогичных пар сотни. На досуге можно общее количество найти.
Ну и есть много разностей, для которого не находится ни одной пары ИЧ.

[rusak]

Очень важный момент!
Иногда требуется строить разрывные функции. Покажу на примере, ссылаясь на рисунок.
Пусть задана система (1). Видно, что в точке Пи/4 функция терпит разрыв. Встает вопрос: как эту систему описать одной формулой, то есть в одну строку. Тут не обойтись без функции sign (или sgn, или signum ). Тогда будем иметь формулу (2). Покажем графически, как сказанное работает. Команды в системе Maple помечены как (3). Ниже видим график.


Листинг

A := 6; plot((-(1/2)*signum(x-(1/4)*Pi)+1/2)*A*sin(x)+((1/2)*signum(x-(1/4)*Pi)+1/2)*sin(x+A), x = 0 .. (1/2)*Pi, thickness = 3, scaling = CONSTRAINED);

Динамика развития с увеличением параметра А:



Если динамику развития показать на одном листе, то программа так выглядит:

restart; plot({(-(1/2)*signum(x-(1/4)*Pi)+1/2)*A*sin(x)+((1/2)*signum(x-(1/4)*Pi)+1/2)*sin(x+A)$A=0..2}, x = 0 .. (1/2)*Pi, thickness = 1, scaling = CONSTRAINED);

Рисунок следующий (после доработке в графредакторе):



Запомните это, друзья! Вещь очень важная и полезная.

[rusak]

В математическом форуме участник под ником Andyy , обратился ко всем с вопросом:
"Буду признателен, если знатоки подскажут мне, возможно ли вывести аналитическую формулу для общего члена последовательности натуральных чисел, не кратных, например, числу 3.
Я имею в виду формулу "в одну строку", без логических условий."

Итак, интересует формула вида a=f(n), причем a≠3k. Эта формула должна устанавливать взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и его упорядоченным бесконечным подмножеством {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, ...}, в котором есть все натуральные числа, кроме кратных числу 3.
Нужно, чтобы эта формула могла быть использована при написании программы на алгоритмическом языке высокого уровня. Это резюме автора задачи.
Методом неопределенных коэффициентов мне удалось довольно быстро найти красивое явное однозначное выражение:

a = 0.25 [3(2n-1)-(-1)^n]

Необходимый ряд получается и без калькулятора. Уровень пятиклассника среднего звена.
Но мне захотелось все же решить задачу более общую: составлять натуральный ряд без чисел, кратных произвольному числу k. Я вспомнил свои студенческие годы, когда с головой ушел в дебри теории чисел. И неожиданно всплыло созданное мной мнемоническое правило под названием "везде минус один". Название-то вспомнил, но вот саму формулу... Я закрыл глаза и отправился путешествовать в прошлое. Вот я готовлю плакат для доклада на конференции молодых математиков. Через три дня в Ленинградском Политехническом институте. А что на плакате? Перьевым пером аккуратно вывожу не очень сложное выражение. Так, если "везде минус один", то вроде такое начало: a=n-1. точно! Я тогда чуть кляксу не поставил рядом с единичкой. Дальше было нечто посложней. А, вспомнил! Была дробь. Причем в десятичном представлении необходимо было полностью отсечь любую дробную часть, оставив только целое число. А что в числителе и знаменателе? Так, так! И в числителе и в знаменателе было "везде минус один". Точно! было так:



Тут особые угловые скобки, которые в математике означают "нижняя граница". То есть вычисляется десятичная дробь и отсекается без округления вся дробная часть. Любое целое положительное число k примем и в результате в последовательности будут отсутствовать все числа, кратные k. Такое вот чудо математики.
Программа в Yabasic совсем элементарная:

k=11
print "KRATNOE k= ";:print k
for n=1 to 30
m=n-1+int((n+k-2)/(k-1))
print n,m
next n

В результате на мониторе получим

KRATNOE k=11
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19 20
20 21
21 23
22 24
23 25
24 26
25 27
26 28
27 29
28 30
29 31
30 32

В системе Maple будет всего одна строка:

k:=11; n-1+floor((n+k-2)/(k-1))

Помнится, в ЛПИ сделал доклад и он вызвал оживленные споры. Судьба же так сложилась, что через восемь лет я на той же кафедре защитил кандидатскую диссертацию.

PS Только что существенно упростил формулу!



Вот это уже супер!

Несмотря на то, что я дал самые общие формулы и их легко щелкает ЭВМ, меня попросили найти формулы без спецфункций. Для случая k=3 в самом начале этой зарисовки я дал решение. Следующий случай k=4 оказался сложней. Тут требуется разрешить рекуррентную формулу

a(n)=4+a(n-3) при a(1)=1 ; a(2)=2 ; a(3)=3

Используя традиционный подход, получил такое тригонометрическое:



А вот для k=5 удалось только в комплексной плоскости:



А вот как в Maple просто, только циклами (без сравнений) производится последовательный ряд без чисел, кратных k:

restart; n := 0: k := 3; for N from 0 to 10 do for x from N*k-N+1 to (N+1)*(k-1) do n := n+1: print(n, N+x) end do: end do:

Здесь N - количество участков, где наблюдается натуральные последовательности
В данном примере N=10 и получим:
3
1, 1
2, 2
3, 4
4, 5
5, 7
6, 8
7, 10
8, 11
9, 13
10, 14
11, 16
12, 17
13, 19
14, 20
15, 22
16, 23
17, 25
18, 26
19, 28
20, 29
21, 31
22, 32
Если же принять k=6 и N=3, то ряд такой

6
1, 1
2, 2
3, 3
4, 4
5, 5
6, 7
7, 8
8, 9
9, 10
10, 11
11, 13
12, 14
13, 15
14, 16
15, 17
16, 19
17, 20
18, 21
19, 22
20, 23

Придумал интересную группу математических знаков, при помощи которой можно рассчитать как всю последовательность, так и отдельные элементы:



Рассмотрим пример нахождения пар чисел [n, a(n)]

Пусть N = 3, k=5.
Тогда натуральный ряд начнется с N(k-1)+1=3(5-1)+1=13

и закончится числом (N+1)(k-1)=(3+1)(5-1)=16

На этом отрезке a(n) будет натурально возрастать от 13+N=13+3=16 до 16+N=16+3=19.

Будем иметь:

13 16
14 17
15 18
16 19

Такой участок у нас есть на рисунке, что выше приводил.
Если зададим N=62 и k=7, то получим группу:

373 435
374 436
375 437
376 438
377 439
378 440

Не надо тянуть всю последовательность от начала, чтобы найти эти пары.
А ВОТ ДЛЯ k>5 РЕШЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!

[rusak]

Всю ночь сегодня пришлось решать задачу по аппроксимации сложной зависимости.
Деятель науки с ником strange написал:
"Есть восемь точек:
x=2 y=0,384217536
x=3 y=1,106245694
x=4 y=2,629052351
x=5 y=7,832014171
x=6 y=17,37905132
x=7 y=36,60673011
x=8 y=66,69612989
x=9 y=104,4259084
На глаз видно показательную функцию, но фишка в том, что показатель степени, судя по всему, - переменная.
Если кто сможет определить эту функцию, буду очень признателен. Более того, тут дело попахивает серьезным открытием, возьму в соавторы
Конечно, мне захотелось в соавторы! Но сначала решил послушать других участников форума. Быстро ответил знаток математики под ником Semen_K . Он пишет:
"У меня вот что получилось

Y=-0.0190543*x5+0.4874708x4-4.3207141x3+18.3040989x2-36.58884x+27.7555259"

И дал график данной аппроксимации:



Мне такое решение, честно говоря, не понравилось. Закономерность явно не угадана. Но и простым полиномом тут не обойтись. Нужно нечто более сложное. Я остановился на подключении тригонометрии. Возился довольно долго, часа четыре. Это очень много при наличии разработанной еще 10 лет назад уникальной программы по подбору оптимальной конструкции формулы. И только под утро пришло озарение, и была выбрана зависимость:



Комментарии, думаю, тут излишни.

[rusak]

Институт ВОДГЕО (полностью так: ГНЦ РФ ОАО "НИИ ВОДГЕО") является единственной в стране научно-исследовательской организацией, комплексно решающей все вопросы водного хозяйства городов, населенных пунктов, предприятий промышленности и сельского хозяйства. Основными направлениями деятельности института является проведение фундаментальных и прикладных работ в области водоснабжения и водоподготовки, оптимизации промышленного водопользования, очистки сточных вод и обработки их осадков, промышленной гидротехники, инженерной гидрогеологии, охраны водных ресурсов от загрязнения.
И, конечно же, там очень сильна математическая школа. В стенах института в период с 1960 года защищено 105 докторских и 577 кандидатских диссертации, из них за последние 5 лет - 7 докторских и 8 кандидатских. Весьма примечательно, что ВОДГЕО расположен возле двух переулков Тружеников.
Но даже у столь маститых ученых возникают вопросы, которые не удается решить. Совсем недавно мне позвонил хороший коллега, доктор наук (есть видео, он на 2:38 минуте

)

и прислал по почте гистограмму какого-то сложного процесса, связанного с УФ-очисткой воды. Построена на основании огромного числа измерений. Вопрос заключался в том, чтобы как можно более точно ее аппроксимировать. Гистограмма следующая:

По его словам, ни один из известных законов распределения не подходил. А их аж более двадцати видов.
Александр Дмитриевич хорошо осведомлен о моих работах в области аппроксимации вероятностных процессов, и попросил как можно быстрее, но предельно качественно проблему решить. Я спросил, когда последний срок выполнения? Ответ последовал малоутешительный: последний срок был вчера. Это означало, что спать не придется и утром надо на-гора результат выложить.
Как обычно решаются подобные задачи? По виду гистограммы, по тому, на какой вид распределения плотности вероятности похожа гистограмма, подбирается теоретический закон распределения. Наиболее часто встречающиеся виды распределений:
1) нормальное и лог-нормальное;
2) показательное (экспоненциальное);
3) Вейбулла;
4) Рэлея;
5) Пуассона;
6) Стьюдента;
7) Максвелла;
8) Больцмана;
9) Фишера;
10) Бернулли;
11) Гумбеля;
12) Трейси-Видома;
13) хи-квадрат;
14) биноминальное;
15) геометрическое;
16) гамма-распределение;
17) бета-распределение;
Несмотря на экзотические названия, распространённые распределения связаны друг с другом достаточно интуитивными и интересными способами, позволяющими легко их вспоминать и уверенно о них рассуждать. Некоторые естественно следуют, например, из распределения Бернулли. Далеко неполная карта этих связей:

Однако очень часто гистограмма оказывается такой, что никакого вида распределений подобрать не удается. При каком-то вершина не совпадает, при других - начальный и конечный участок кривой и так далее. Так получилось и в моем случае. Просмотрев более двух десятков различных формул, я убедился, что нужно искать более точную. В арсенале моих последних открытий имелись три вида четырехпараметрических распределений. Покажу их интегральные формы (они просто более компактные, и чтобы использовать для аппроксимации гистограммы, достаточно взять производную каждого из этих трех распределений):

У меня написана довольно простая, но весьма эффективная программа, которая позволяет методом Монте-Карло находить оптимальные параметры в этих формулах. Потребовалось всего два часа, чтобы успешно выполнить всю работу. Этот листочек я распечатал и отправил по эл. почте Александру Дмитриевичу Смирнову:



Самой точной оказалась кривая под номером 2. Сумма квадратов отклонений экспериментальных точек (их 15 штук) от аналитической кривой оказалась равной всего 0,0000591. Да и по рисунку видно, что кривая пронизывает квадратики-точки почти посредине.

[rusak]

Эта неделя была поистине революционной. Математически революционной. Но обязательно прочитайте до конца, ибо красивые мысли и удивительная их реализация должны повышать образованность современного человека.
Итак, я и моя аспирантка Инна Френк исследовали динамику продажи одного из последних айфонов по всей России. В итоге была получена довольно гладкая гистограмма:



Напишу тексты программы в системе Maple, в соответствии с которыми было произведено нормирование опытных точек ( то есть гистограмма сводилась к такому виду, что площади всех столбиков равнялись единице), подбиралась наиболее подходящая формула и оптимизировались ее параметры. Итак, программа нормирования:
restart; n := 12: dx := 10: s := 0: m := 0: s1 := 0: s2 := 0: x(1) := 5: y(1) := 36: x(2) := 15: y(2) := 58: x(3) := 25: y(3) := 72: x(4) := 35: y(4) := 79: x(5) := 45: y(5) := 69: x(6) := 55: y(6) := 36: x(7) := 65: y(7) := 18: x(8) := 75: y(8) := 13: x(9) := 85: y(9) := 9: x(10) := 95: y(10) := 6: x(11) := 105: y(11) := 3: x(12) := 115: y(12) := 1: for i to n do print(x(i), y(i)); s := s+y(i): m := m+x(i)*y(i) end do: k := m/s: delk := dx/k: for i to n do x1 := proc (i) options operator, arrow: x(i)/k end proc: s1 := s1+delk*y(i) end do: print(evalf(s1), evalf(delk)); for i to n do f := proc (i) options operator, arrow: y(i)/s1 end proc: s2 := s2+f(i)*delk: T := proc (i) options operator, arrow: s2 end proc: print(evalf[7](x1(i)), evalf[7](f(i)), evalf[4](T(i))) end do; print(s2, evalf(f(3)));

Получаем результаты:
5, 36
15, 58
25, 72
35, 79
45, 69
55, 36
65, 18
75, 13
85, 9
95, 6
105, 3
115, 1

......x............f............F
0.1368925, 0.3287250, 0.09000
0.4106776, 0.5296125, 0.2350
0.6844627, 0.6574500, 0.4150
0.9582478, 0.7213688, 0.6125
1.232033, 0.6300562, 0.7850
1.505818, 0.3287250, 0.8750
1.779603, 0.1643625, 0.9200
2.053388, 0.1187062, 0.9525
2.327173, 0.08218125, 0.9750
2.600958, 0.05478750, 0.9900
2.874743, 0.02739375, 0.9975
3.148528, 0.009131250, 1.
Пишу эти циферки не только для коллег, но и для себя. Ведь каждый знает, что любой компьютер в любое время может что? - Правильно! Может грохнуться. И все программы пойдут на кулички. А так они сохранятся, пока будет жить интернет. Но продолжу. Программа поиска оптимальных параметров выбранной функции методом Монте-Карло. Приведу одно из лучших решений:

restart; with(stats): n := 12: z := .1: a0 := -1: b0 := 1: c0 := -1: d0 := -1: s3 := 10^100: nn := 150000: x(1) := .1368925: y(1) := 0.9e-1: x(2) := .4106776: y(2) := .235: x(3) := .6844627: y(3) := .415: x(4) := .9582478: y(4) := .6125: x(5) := 1.232033: y(5) := .785: x(6) := 1.505818: y(6) := .875: x(7) := 1.779603: y(7) := .92: x(8) := 2.053388: y(8) := .9525: x(9) := 2.327173: y(9) := .975: x(10) := 2.600958: y(10) := .99: x(11) := 2.874743: y(11) := .9975: x(12) := 3.148528: y(12) := 1: for i to n do x1 := proc (i) options operator, arrow: x(i)+x(1) end proc: print(x1(i), y(i)) end do: ran := rand(0. .. 1.0): for j to nn do a := a0*(1+z*(ran()-.5)): b := b0*(1+z*(ran()-.5)): c := c0*(1+z*(ran()-.5)): d := d0*(1+z*(ran()-.5)): s := 0; for i to n do f := proc (i) options operator, arrow: evalf(1-exp(a*x1(i)^b*arctan(x1(i)^d)^c)) end proc: s := evalf(s)+(y(i)-f(i))^2 end do: if s < s3 then print(a, b, c, d, s, nn-j); s3 := s: a0 := a: b0 := b: c0 := c: d0 := d end if end do

Самый конец большой распечатки дает наилучшие параметры a,b,c,d
-0.7049470502, 1.621617602, -0.5494220670, -0.6027097736, 0.001560489736
-0.7055240212, 1.629115250, -0.5485565632, -0.5816978702, 0.001560233435
-0.7036881455, 1.623042636, -0.5645668716, -0.5743603014, 0.001560118517
Последний столбец - это сумма квадратов отклонений опытных точек от кривой. Видно, что эта сумма очень малая.
Ну и осталось написать программу графического сопоставления результатов:
restart; with(plots): data := [[.2737850, 0.9e-1], [.5475701, .235], [.8213552, .415], [1.0951403, .6125], [1.3689255, .785], [1.6427105, .875], [1.9164955, .92], [2.1902805, .9525], [2.4640655, .975], [2.7378505, .99], [3.0116355, .9975], [3.2854205, 1]]: q2 := pointplot(data): a := -.7036881455; b := 1.623042636; c := -.5645668716; d := -.5743603014; S2 := 0.156e-2; q1 := plot({1-exp(a*x^b*arctan(x^d)^c), diff(-exp(a*x^b*arctan(x^d)^c), x)}, x = 0 .. 3.5, y = 0 .. 1): display(q1, q2);
Получаем следующее:


Вроде бы все неплохо подогнано, но не совсем четко угадана невидимая линия между точками. А ведь она очень гладкая! Это не скачущие по кочкам точки! И удивительно вот что: почти все пять подобных формул, у которых четыре независимых параметра, дали практически ту же аппроксимирующую кривую и одинаковую сумму квадратов отклонений: от 0.00156 до 0.00158. Такого единодушия мы с Инной еще никогда не видели! Стали вместе думать над данным феноменом. И тут Инна вспомнила, что через примерно три недели после начала продаж началась мощная рекламная кампания в пользу этого айфона. Сначала в интернете, а затем и в основных телевизионных каналах. Был замечен небывалый всплеск покупок полезного и красивого продукта нанотехнологий. А что это может означать? Это может означать, что в статистику покупок вмешалась еще и "рекламная статистика". Аспирантка предложила искать решение в виде суммы двух распределений. Стали перебирать варианты и удача нам улыбнулась.
Сумма двух распределений Вейбулла позволила повысить точность почти в двадцать раз! Вот та самая прога, которая совершила этот рывок:
restart; with(stats): n := 12: z := 0.1e-2: a0 := -.5058202637: b0 := 5.053882269: c0 := -.860083739: d0 := 1.551120084: u0 := .1887375438: s3 := 10^100: nn := 150000: x(1) := .1368925: y(1) := 0.9e-1: x(2) := .4106776: y(2) := .235: x(3) := .6844627: y(3) := .415: x(4) := .9582478: y(4) := .6125: x(5) := 1.232033: y(5) := .785: x(6) := 1.505818: y(6) := .875: x(7) := 1.779603: y(7) := .92: x(8) := 2.053388: y(8) := .9525: x(9) := 2.327173: y(9) := .975: x(10) := 2.600958: y(10) := .99: x(11) := 2.874743: y(11) := .9975: x(12) := 3.148528: y(12) := 1: for i to n do x1 := proc (i) options operator, arrow: x(i)+x(1) end proc: print(x1(i), y(i)) end do: ran := rand(0. .. 1.0): for j to nn do a := a0*(1+z*(ran()-.5)): b := b0*(1+z*(ran()-.5)): c := c0*(1+z*(ran()-.5)): d := d0*(1+z*(ran()-.5)): u := u0*(1+z*(ran()-.5)): s := 0: for i to n do f := proc (i) options operator, arrow: evalf(1-u*exp(a*x1(i)^b)-(1-u)*exp(c*x1(i)^d)) end proc: s := evalf(s)+(y(i)-f(i))^2 end do: if s < s3 then print(a, b, c, d, u, s, nn-j); s3 := s: a0 := a: b0 := b: c0 := c: d0 := d: u0 := u: end if: end do:

Конец расчетов такой:
-0.5060948264, 5.047176871, -0.8602122390, 1.550480881, 0.1892980081, 0.00008140963484
-0.5059164816, 5.048509578, -0.8602152515, 1.550500150, 0.1892379116, 0.00008140960716
-0.5059975537, 5.047449263, -0.8602280068, 1.550477423, 0.1892861970, 0.00008140958819

С огромным любопытством стали корректировать программу построения всех четырех кривых. Получилась программа следующая:
restart; with(plots): data := [[.2737850, 0.9e-1], [.5475701, .235], [.8213552, .415], [1.0951403, .6125], [1.3689255, .785], [1.6427105, .875], [1.9164955, .92], [2.1902805, .9525], [2.4640655, .975], [2.7378505, .99], [3.0116355, .9975], [3.2854205, 1]]: q2 := pointplot(data): a := -.5059975537: b := 5.047449263: c := -.8602280068: d := 1.550477423: u := .189286197: S2 := 0.814096e-4: q1 := plot({1-u*exp(a*x^b)-(1-u)*exp(c*x^d), diff(-u*exp(a*x^b), x), diff(-(1-u)*exp(c*x^d), x)}, x = 0 .. 3.5, y = 0 .. 1): q3 := plot(diff(1-u*exp(a*x^b)-(1-u)*exp(c*x^d), x), x = 0 .. 3.5, thickness = 3, color = black): display(q1, q2, q3);

И вот она, золотая графика!



Жирная черная кривая плотности вероятности f - это есть производная функции распределения F. Сама же f - суть сумма двух функций плотности вероятности f1 и f2, причем последняя - та самая "рекламная статистика".
Если бы могли, то данную научную работу мы бы набили на отполированном граните!

[rusak]

Неделю назад работал с китайскими коллегами по контракту. Нужно было найти очень точные аппроксимации распределения, полученного на основе ста тысяч наблюдений. Гистограмма имела 19 интервалов и оказалась идеально гладкой. Но было поставлено довольно жесткое условие: аналитическая функция F должна быть такой, чтобы сумма квадратов отклонений не оказалась больше 0,00005. Мне удалось найти три совершенно разные четырехпараметрические формулы, которые справились с поставленной задачей. Результаты оформил в виде красочного коллажа (распечатал его на холсте в фирме "Фотопроект"). Цифровой оригинал поместил на временное хранение в http://my-files.ru/7ywx0x (там есть ссылка на просмотр в полном размере 2000х2000 пк).
Срок хранения истекает через 20 дней. Так что кому покажется интересным мой продукт, то скачивайте на здоровьице.

[rusak]

Создал еще один важный коллаж! Это шедевр современной математики. Если пойдете по ссылке
https://my-files.ru/ggdqmh
то обязательно скопируйте полное изображение и сдайте файл в Фотопроект. На холсте с подрамником сделайте картину, которая переживет века! Храниться файл будет ровно 1 год.

Отправлено спустя 12 минут 22 секунды:
Неделю назад нашел потрясающе красивый способ построения магических квадратов нечетного порядка n.
Метод назвал «Домино». Почему так, — думаю будет понятно в процессе изложения.
Когда я говорю о прорыве, то имею в виду рекордную простоту способа заполнения ячеек числами от 1 до n^2. Допустим, размер квадрата 13 на 13. Тогда достаточно создать следующий шаблон:



Здесь из левого нижнего угла и из правого верхнего угла выделяются «доминушечки». Желтые ячейки начинаются со средней верхней ячейки и идут ходами чуть удлиненного шахматного коня, а именно: три шага вниз и один шаг влево. Нижние половинки «доминушек» закрашиваем голубым цветом.
Второй шаг: начинаем расставлять числа:



Желтые ячейки нумеруем последовательно от 1 до 13. Последнее число 13 обязательно попадает в верхнюю часть «доминушечки» (это должно быть контролем правильности построения шаблона). Далее идущие последовательно «доминушечки» заполняются так: в верхних половинках — числа, кратные 13, а в нижних — числа, на единицу больше.
В результате получили главную основу для построения магического квадрата. Теперь нас будут интересовать только отдельные колонки.
В каждой колонке, начиная с желтой ячейки, вниз записываем арифметическую прогрессию с шагом n+1, то есть 14. Покажу это красными цифрами в четырех колонках:



Тут есть, конечно, нюансы, связанные с доминушками, но их легко интуитивно понять и таким приемом заполнить числами все ячейки. В результате получим магический квадрат. Нечетное число n должно быть больше 3.
И тут, — внимание! — есть очень интересная вещь. Если порядок магического квадрата n является простым числом, то в результате получим не просто магический квадрат, а Идеальный Магический Квадрат (ИМК). То есть в нашем примере будем иметь именно ИМК. Что это такое? Это одновременно ассоциативный и пандиагональный квадрат.
Посмотрите об этом в Википедии в статье «Магический квадрат».

Коллеги! Распространите это открытие по всей паутине! Денег будет - навалом!

[Сергей Титов]

rusak, математика для Вас — это религия, по-моему.

Загляните сюда.

[rusak]

Сергей Титов, а недавно я где-то читал, что математики доказали существование бога.
Так что скоро простой люд забудет про религию и только математики станут жутко верующими.
Что касается меня, то именно математика дала максимум славы (не огромной такой гагаринской, а едва заметной вооруженным глазом). На второе место слава меня подтолкнула за художество на холсте и на третье место - за афоризмы.

[rusak]

Самые простые магические квадраты имеют порядок n=4k. То есть МК: 4 x 4 , 8 x 8, 12 x 12 и т.д. Их легко строить с помощью шахматной матрицы:

Удивительно, но это факт - МК одинарной четности, имеющие порядок n=4k+2, оказываются самыми трудными в части построений. Разработанные методы довольно сложны и мало наглядны.
Мне же интуиция подсказывала, что и квадраты 4k и квадраты 4k+2 должны иметь, образно говоря, одинаковый корень. Я пошел по этому пути и вот что получилось.
Чтобы решение оказалось цельным, буду вести рассуждения сразу для двух МК: 10 х 10 и 14 х 14. Сначала делаем шаблон — раскраску:

Здесь почти все поле выкрашено в шахматном порядке, как и квадраты порядка 4k. Самый центр (квадрат 2 х 2) желтым цветом не заполняется. Коричневым цветом показаны зарезервированные ячейки — они потом будут заполняться двумя цветами в соответствии с моими инструкциями.
Второй шаг покажем на следующем рисунке:

Думаю, тут вопросов не будет. Идем дальше:

Здесь заполняем правую крайнюю колонку. Заполнение начинаем симметрично относительно срединной горизонтали, чередуя зеленый и красный цвета. Заполнение симметрично относительно срединной вертикали покажем на четвертом рисунке:

Шаблон полностью готов! Осталось только с четырех сторон заполнять числами ячейки соответствующих цветов.
(продолжение - в следующем посту потому что не разрешается загружать более 5 рисунков).

[rusak]

Двигаемся последовательно и построчно:


Если все внимательно сделать, то получим полноценный магический квадрат с магической суммой 505.
Вот так надо двигать науку, уважаемый Сергей Титов!
С легкой руки Вашего форума данный метод распространится по всему земному шарику, школьники выдадут тысячи презентаций, метод Георгия Александрова обретет известность, равную полетам товарища Чкалова.

[Сергей Титов]

С легкой руки Вашего форума данный метод распространится по всему земному шарику, школьники выдадут тысячи презентаций, метод Георгия Александрова обретет известность, равную полетам товарища Чкалова.

rusak, это не мой личный форум, Вы неточно выразились, по-моему. И к чему вдруг здесь сравнение с товарищем Чкаловым, уважаемым и всенародно известным? Земной шарик, как известно, он не облетал (или так: не он облетал )

[rusak]

Сергей Титов, а с кем меня еще сравнивать? Не с Дантесом же с Мартыновым. Я ведь созидаю, а не топлю симпатичных такс.
Если же продолжить математические зарисовки, то приведу коллаж, который изготовил вчера по просьбе Блай Фигерас, моего друга-математика из Испании. Естественно, все тексты для него сделал на испанском языке.
Итак, построение магических квадратов нечетного порядка новым методом, названным мной "Домино":

Если кто вникнет в суть двух решений, будет восхищен простотой и изяществом метода. С его помощью можно примерно в два раза быстрей заполнить матрицу нужными числами, нежели с помощью других традиционных способов (террас, Баше, Де Лаира, Н.Макаровой и др.)

[rusak]

Американские ученые автопрома в этом году собрали богатый материал по уровню эффективности ихних железных коней. Статистику провели на основе аж 1000 наблюдений! Была построена гистограмма: Х - пробег в милях при сжигании одного галлона бензина (середина интервала); Y - частота (то есть количество автомобилей, попавших в заданный интервал уровня эффективности X.
Вот эта гистограмма в виде таблицы:
__X____Y
1.5____ 4
4.5___ 24
7.5____57
10.5___98
13.5__138
16.5__164
19.5__167
22.5__144
25.5__103
28.5___60
31.5___27
34.5___10
37.5____3
40.5____1
Надо сказать, что гистограмма на удивление гладкая. Видимо, большой статистический ряд и точность инструментария чисто экспериментально выдали четкий закон распределения. Осталось только выяснить: какой же формулой эти данные аппроксимировать? Многие полагали, что распределение однозначно нормальное. Я с этим не согласился, вычислив основные характеристики:

MO = 18.321 - математическое ожидание;
SIGMA = 6.73134 - корень квадратный из дисперсии;
A = 0.0998045 - коэффициент асимметрии;
E = -0.306475 - коэффициент эксцесса.

Последние два показателя как раз выдают отличия от нормального распределения. Но они с точки зрения математики - далеко не нули. И еще одно: нормальное распределение имеет вид колокола, причем его левая ветвь заходит в отрицательную зону. Но задача физическая и значение X никак не может быть отрицательным. Поясню на простом примере: что такое нулевое значение X? Это когда машина сразу после зажигания не может сдвинуться ни на один миллиметр и весь галлон бензина сгорает на холостом ходу. Случай абсурдный, но такое в жизни иногда бывает. Итак, нулевой случай маловероятный, но возможный. Чего нельзя сказать про отрицательный случай. Это означает, что за руль села блондинка и по ошибке дала задний ход. Подобный ужас американцы вряд ли зафиксировали.
Короче, я пришел к выводу, что аппроксимирующая функция должна иметь действительные числа только в положительной зоне, при нулевом Х должна иметь строгий ноль и в отрицательной зоне должна совпадать с осью абсцисс (формуле достаточно выдавать комплексные числа). Правая часть асимтотически приближается к той же оси абсцисс. Сказанное я в дальнейшем поясню на графике. Сейчас же расскажу про мои теоретические исследования.
Главное, что я решил - аппроксимировать не функцию плотности вероятности f , а ее интегральное представление, то есть функцию распределения F. Объяснение простое: интеграл не всегда берется в элементарных функциях (часто даже - ни в каких не берется), зато производную можно всегда найти. Рассмотрев более 2 тысяч самых различных формул, удалось выбрать четыре, удовлетворяющие граничным условиям:



Составил быстро программу на языке Yabasic и рассчитал методом Монте-Карло оптимальные параметры для каждой из четырех формул. Результаты свел в таблицу:



Третья формула оказалась наиболее предпочтительней, поскольку сумма квадратов отклонений от 14 натурных точек составила величину почти 0,0000007. Приведу именно для этой формулы программу расчета:

open #1,"x-f.txt","r"
open #2,"avto-3.txt","w"
z=.01:s1=10^100:nn=9000000
dim x0(100),f0(100),f(100),x(100),FF(100),y(100)
input #1 n
print "NUMBER OF INTERVALS = ";:print n
print #2, "NUMBER OF INTERVALS = ";:print #2, n
for i=1 to n
input #1 x0(i),f0(i)
print x0(i),f0(i)
print #2, x0(i),f0(i)
s0=s0+f0(i)
FF(i)=s0
next i
print "TOTAL N = ";:print s0
print #2, "TOTAL N = ";:print #2, s0
print
del=x0(3)-x0(2)
for i=1 to n
x(i)=x0(i)+del/2
FF(i)=FF(i)/(FF(n)+0)
f(i)=(FF(i)-FF(i-1))/del
print x0(i),f(i);:print " ";:print x(i),FF(i)
print #2, x0(i),f(i);:print #2, " ";:print #2, x(i),FF(i)
next i
print
print #2
for i=1 to n
smo=smo+x0(i)*f(i)
sf=sf+f(i)
next i
mo=smo/sf
print "MO = ";:print mo
print #2, "MO = ";:print #2, mo
for i=1 to n
m2=m2+(x0(i)-mo)^2*f(i)/sf
m3=m3+(x0(i)-mo)^3*f(i)/sf
m4=m4+(x0(i)-mo)^4*f(i)/sf
next i
sigm=sqrt(m2)
A=m3/sigm^3
E=m4/sigm^4-3
print "SIGMA = ";:print sigm
print "A = ";:print A
print "E = ";:print E
print
print #2, "SIGMA = ";:print #2, sigm
print #2, "A = ";:print #2, A
print #2, "E = ";:print #2, E
print #2
a0=1:b0=1:c0=1:d0=1
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-.5))
b=b0*(1+z*(ran()-.5))
c=c0*(1+z*(ran()-.5))
d=d0*(1+z*(ran()-.5))
s=0
for i=1 to n
x=x(i)
y(i)=(1-(a*x^b+1)^(-c))^d
s=s+(y(i)-FF(i))^2
next i
if s<=s1 then
print a,b,c,d,s
s1=s
a0=a:b0=b:c0=c:d0=d
ak=a:bk=b:ck=c:dk=d:sk=s
fi
next j
print "FORMULA 3";:print " ";
print ak,bk,ck,dk,sk
print #2, "FORMULA 3";:print #2, " ";
print #2, ak,bk,ck,dk,sk

При этом файл данных с именем "x-f.txt" следующий:

14
1.5 4
4.5 24
7.5 57
10.5 98
13.5 138
16.5 164
19.5 167
22.5 144
25.5 103
28.5 60
31.5 27
34.5 10
37.5 3
40.5 1

Сопоставление точек и кривой:



Ну, производная этой функции:



Как видим, совпадения впечатляют.

[rusak]

Неожиданное продолжение получил мой пост по магическим квадратам порядка n=4k+2. Математик их Сиднея пишет (перевожу с английского):
"Метод в виде шахматной доски хоть интересный, но очень несимметричный. Хотелось бы иметь симметричную раскраску относительно хотя бы вертикальной оси."
Я вспомнил, что лет 10 назад нечто подобное сделал и даже статью опубликовал. Вчера поднял свой архив и обнаружил черновик. Привожу основные мысли.
Каждый, кто составлял магические квадраты (или МК) данного вида, непременно сталкивался с более значительными трудностями, нежели при построении МК нечетного порядка или порядка двойной четности. Тем не менее, мне удалось разработать общий способ компоновки этой группы строптивых головоломок. Он базируется на методе обратимых квадратов, но доведен до зеркального блеска простоты. Рассмотрим конкретный пример. Пусть n = 4k + 2 = 14 . Отсюда k = 3 . На Рис. 1 показан принцип создания обобщенного латинского квадрата

Рис. 1. Построение обобщенного латинского квадрата 14 х 14

Здесь потрясающая гармоника! Числа идут двумя регулярными фронтами с обеих сторон. Вся хитрость заключается в построении желтой области, параметры которой четко привязаны к величине k > 0 . Получаем сразу обобщенный латинский квадрат (или ОЛК). Запрограммировать данную структуру очень просто.
Теперь уже можно приступать к созданию магического квадрата.
Пусть числа в ячейках ОЛК – это Z( i, j ) , а Zmax – наибольшее число в поле латинского квадрата. Тогда магический квадрат M(i,j) строится согласно правилу:

M( i,j ) = Zmax [Z( i, j ) – 1 ] + Z( j, i)

Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере Zmax = 14. При i =2 и j = 3 имеем Z( 2 , 3 ) = 12 ; Z( 3 , 2) = 2. Следовательно, M( 2 , 3 ) = 14 ( 12 – 1 ) + 2 = 156 . Вычислив таким образом все M( i,j ), получим решение (Рис. 2):

Рис. 2. Магический квадрат 14 х 14

В этом примере выделены все нечетные числа. Рисунок получился чуть-чуть негармоничным, что подтверждает тезис о сложности рассматриваемой группы магических квадратов.
Только что решил построить таким методом самый маленький МК 6.
Программа на Yabasic:
open #1,"6-n.txt","r"
open #2,"6ms-n.txt","w"
dim z(100,100),z1(100,100),c(10000)
n=6
for i=1 to n:for j=1 to n:input #1 z1(i,j):next j:next i
for i=1 to n:for j=1 to n:z(i,j)=(z1(i,j)-1)*(n)+z1(j,i)
next j:next i: for i=1 to n*n:c(i)=0:next i
for i= 1 to n:for j=1 to n:z=z(i,j)
c(z)=c(z)+1: next j:next i:c=0: for i=1 to n*n
if c(i)>1 then c=c+1:fi: next i:if c=0 then
for i=1 to n:for j=1 to n:print #2,z(i,j);:if j<n then print #2,",";:fi:next j:print #2:next i:print #2
s0=0:for i=1 to n:s0=0:for j=1 to n:s0=s0+z(i,j):next j:print #2,s0;:next i:print #2
s0=0:for j=1 to n:s0=0:for i=1 to n:s0=s0+z(i,j):next i:print #2,s0;:next j:print #2:print #2
for i=1 to n:for j=n+1 to n+n:z(i,j)=z(i,j-n):next j:next i
print #2
s0=0:for j=1 to n:s0=0:for i=1 to n:s0=s0+z(i,i+j-1):next i:print #2,s0;:next j:print #2
s0=0:for j=1 to n:s0=0:for i=n to 1 step -1:s0=s0+z(i,i+j-1):next i:print #2,s0;:next j:print #2:print #2:fi

Результат:


Честно говоря, никогда не видел такого МК6.

PS
Получил письмо от австралийца. Он предложил латинский квадрат 14 х 14 немного улучшить: поменять местами нижнюю и верхнюю желтые пирамидки. Магичность квадрата сохранится, но визуально рисунок будет лучше смотреться. А то уж больно "тяжелой" оказалась нижняя часть "жука". Я с ним согласился и рассчитал все по-новому. Результаты:

[Таланов]

Осталось только выяснить: какой же формулой эти данные аппроксимировать? Многие полагали, что распределение однозначно нормальное. Я с этим не согласился, вычислив основные характеристики:
MO = 18.321 - математическое ожидание;
SIGMA = 6.73134 - корень квадратный из дисперсии;
A = 0.0998045 - коэффициент асимметрии;
E = -0.306475 - коэффициент эксцесса.
Последние два показателя как раз выдают отличия от нормального распределения. Но они с точки зрения математики - далеко не нули.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального распределения никогда не будут равняться нулям. Здесь важно чтобы отличие их от нуля не являлось статистически значимым. Для этого проверяется гипотеза о неравенстве их нулю. В вашем случае эта гипотеза отвергается, поэтому обоснованного отказа от нормальности на этом основании быть не может.

[rusak]

Таланов, я строил оптимизированную кривую Гаусса. Поверьте мне: аппроксимация слабо соответствует точкам. Глаза лучше анализируют тенденцию, нежели слепые критерии. В данной задаче опытные точки оказались статистически очень даже значимыми. Просто раньше гистограммы были, мягко говоря, прыгающими.
Да, нули никогда не будут, но для меня числа 0,1 и -0,3 очень большие, если учитывать, что сумма квадратов отклонений в моей аппроксимирующей формуле оказалась чуть больше 0,0000007. Для кривой Гаусса это значение на порядки выше. Последнее и есть для меня настоящий критерий.

Чтобы совсем уж убедить Вас в старомодности взглядов на статистику, приведу самые свежие свои расчеты. Вчера вечером обнаружил гистограмму японских производителей ламп для автомобилей. 50 тыс. штук испытывали на время непрерывной работы и была получена гистограмма (x - время в месяцах, y - частота):
_x___y
0.1 36
0.3 507
0.5 1692
0.7 3596
0.9 5900
1.1 7940
1.3 8916
1.5 8320
1.7 6365
1.9 3915
2.1 1886
2.3 695
2.5 190
2.7 37
2.9 5

Характеристики:
MO = 1.32082
SIGMA = 0.4289
A = 0.05123
E = -0.290893

Все мои четыре формулы сработали великолепно! Суммы квадратов отклонений:
Формула 1: 4.85773e-07
Формула 2: 3.65049e-07
Формула 3: 1.05094e-06
Формула 4: 8.32208e-07

Нормальное же распределение на порядок хуже. Понятно, что мои формулы идут буквально по точкам, поэтому даю только 4 графика для сравнения:



Видно, что кривые сливаются в одну. Различие наблюдается лишь при большом увеличении макушки:



Можете сами проверить, как далека от лампочек кривая Гаусса. Которая к тому же заходит в отрицательную зону иксов. Во время, понимаешь, отрицательное!

[Таланов]

Глаза лучше анализируют тенденцию, нежели слепые критерии.

Так и действуете по старинке, на глазок?

В данной задаче опытные точки оказались статистически очень даже значимыми.

Вы эту вашу гипотезу проверяли?

Просто раньше гистограммы были, мягко говоря, прыгающими.

Так и должно быть для репрезентативной выборки. Вы проделали анализ регрессионных остатков?

Можете сами проверить, как далека от лампочек кривая Гаусса. Которая к тому же заходит в отрицательную зону иксов. Во время, понимаешь, отрицательное!

Вентцель Елена Сергеевна в прошлом веке устранила это физическое несоответствие введя понятие ограниченного нормального распределения. Так и будете продолжать прозябание в неведении этого?
А все ваши функции не физичны по вашему же аргументу, поскольку имеют вероятность отличную от нуля при невозможных значениях случайной величины.

[rusak]

А все ваши функции не физичны по вашему же аргументу, поскольку имеют вероятность отличную от нуля при невозможных значениях случайной величины.

Вот над этим очень долго смеялся.
Мои четыре формулы как раз и есть самые настоящие законы. Я рассмотрел сотни реальных статистик и ни разу формулы не подвели: хотя бы одна из них четко аппроксимирует точки наблюдений. Достигается это за счет удивительной гибкости функций и безукоризненного поведения на границах.Чего не скажешь о заезженных распределениях, которые приходится вытягивать при помощи сомнительных критериев, а также владеть (как Елена Сергеевна) искусством обрубать и ограничивать кривые. Грустно все это в 21 веке. На такой почве и плодятся липовые диссертации.

[rusak]

Но продолжу тему об идеальных магических квадратах. Я показал выше способ построения ИМК порядка n , который выражен простым числом. Если же он - число составное, то самое простое воспользоваться латинскими квадратами. Вот пример для построения ИМК-9:



Желтые ячейки - это элементарный магический квадрат 3 х 3.