Математические зарисовки ⇐ Другие темы о русской словесности и культуре

[Таланов]

Произвел великолепное исследование!

Тогда Вам не составит труда сделать следующее:
1. Задайте известную однопараметрическую функцию распределения, например распределение Релея;
2. Сгенерируйте ряд случайных значений для этого закона, постройте гистограмму;
3. Оцените параметр распределения (сделайте аппроксимацию) методом наименьших квадратов (МНК) и методом максимально правдоподобия (ММП);
4. Повторите пп. 2 и 3 несколько раз;
5. Оцените среднее отклонение полученных параметров от их истинного значения.

Я это всё проделал для 10 реализаций по 100 случайных значений. Результаты следующие: МНК даёт в среднем приблизительно в 5 раз большую дисперсию чем ММП, что соответствует в 2 раза большему отклонению. Иными словами, если ММП измерительный инструмент класса точности 0.01, то у МНК класс точности - 0.02. Вы пользуетесь МНК, поэтому точность аппроксимации у Вас всегда будет хуже.

[rusak]

Таланов, Уважаемый коллега! Мне на скуднопараметрического Релея, мягко говоря, начхать. Я сам с усами и перед старомодными реликтами не пресмыкаюсь. Мой бог - частотное распределение : ему я поклоняюсь, перед ним стою на задних лапках и только его аппроксимирую. А все Ваши жульнические пунктики, показывающие всего лишь Вашу начитанность чужих книжек и статеек, никак не могут опустить меня до фантастической потери точности при наличии самых продвинутых технологий в виде компьютера, принтера и современного мышления на основе многолетнего опыта.
Дайте мне вашу замечательную формулу с коэффициентами, я ее сравню со своей.

[Таланов]

Мой бог - частотное распределение : ему я поклоняюсь, перед ним стою на задних лапках и только его аппроксимирую.

Частотное распределение - это всего лишь форма представления любого распределения, в том числе и распределение Релея.
Впрочем разницы нет, можете проверить неточность Ваших оценок на любом распределении. А компьютер всего лишь ускоряет процесс вычисления, стало быть вы просто быстрее находите неточные оценки.

[Таланов]

Дайте мне вашу замечательную формулу с коэффициентами, я ее сравню со своей.

Я сильно сомневаюсь что Вы умеете это грамотно делать.

[rusak]

Таланов, Распределение Релея - всего лишь частный случай. Ну, как прямая линия есть частный случай при аппроксимации цепочки точек. Грубая такая аппроксимация.

[Таланов]

Грубая такая аппроксимация.

Если Вы нагенерируете случайные значения, распределённые по закону Релея это будет самая точная аппроксимация. Ну а далее останется убедиться, насколько вы ошибаетесь находя параметр распределение по МНК, а не по ММП. У меня получилось что среднее значение параметра имеет в Вашем случае в 2 раза большее отклонение от истинного значения.

[rusak]

Если Вы нагенерируете случайные значения, распределённые по закону Релея это будет самая точная аппроксимация.

Если нагенерировать именно по Релею, то нет вопросов.
А вот если посмотреть явление, нагенерированное матушкой-природой, то вероятность аппроксимации Релеем очень мала. Потому что природа не так проста, как малопараметрическое распределение Релея. Все равно, что кинуть камень параллельно водной поверхности и попытаться аппроксимировать скачки камня линейной функцией. Да еще упорно доказывать, что лучше линии ничего быть не может.
Приходится с Талановым говорить на детском языке.

[Таланов]

Если нагенерировать именно по Релею, то нет вопросов.

То есть Вы согласны, что в случае заранее известного чистого распределения метод наименьших квадратов в среднем даёт большие отклонения от истинного значения параметра, чем метод максимального правдоподобия.

[rusak]

Таланов, Если заранее известно распределение, то ничего и вычислять не надо будет. Зачем зря электричество тратить? Ваше так называемое подобие - что вера в какого-то бородатого мужика, который всех нас сделал по образу и подобию и за которого молиться следует. Я в такого мужика не верю. Не верю и Вашему Подобию. Интересно, кто его высосал из пальца?

[Таланов]

Если заранее известно распределение, то ничего и вычислять не надо будет.

А Вы считайте для себя его неизвестным и посмотрите чего наслесарили.

Интересно, кто его высосал из пальца?

Строго доказал Фишер. А из пальца Вы высосали МНК для аппроксимации функций распределения. Даже не можете понять что является причиной получаемых больших отклонений от истинного значения.

[rusak]

Таланов, учите, пожалуйста мат часть. Учебники четко говорят: "Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя метод максимального правдоподобия, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Оценка максимального правдоподобия даёт уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения."
Итак, в случае нормального распределения будет все ОК! Я же, как Вы видите, изучаю явления, которые описываются далеко не нормальным распределением. В этом случае не намерен верить взятому (ну, надо же!) в кавычки «более близкими». Может быть в генетике такой фокус проходит, но мои наблюдения в неживой природе закавыченное не подтверждают.
И главное. метод максимального правдоподобия базируется не на одной, а на нескольких серий испытаний. То есть при наличии нескольких гистограмм. Для каждой находятся свои статистические параметры и уже их обобщают, выдавая за нечто более правдоподобное, чем даже сама природа. Зыбко все это, согласитесь.
Я твердо считаю, что лучше иметь одну гистограмму, но безупречно выверенную. Только тогда результатам можно верить.

[Таланов]

Оценка максимального правдоподобия даёт уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения

Совершенно верно! В случае нормального распределения методом максимального правдоподобия можно просто получить решение в аналитическом виде, которое полностью совпадает с решением методом моментов. В случае других распределений решения не такие простые, но всё-таки находятся. А зачем Вам тогда численные методы и компьютер? Если он у Вас есть, то сможете найти решения для любых распределений. Для любых!

И главное. метод максимального правдоподобия базируется не на одной, а на нескольких серий испытаний. То есть при наличии нескольких гистограмм.

Чушь собачья, говорящая о Вашей некомпетентности в данном вопросе.

Только тогда результатам можно верить.

Только не Вашим. Вы используете МНК за границами его применения.

[rusak]

Только не Вашим. Вы используете МНК за границами его применения.

Коллега! Аппроксимация как раз и придумана для того, чтобы глядеть в будущее и она часто верно предсказывает процессы. Если, конечно, исходные данные не халтурные, а аппроксимирующая формула не полином, который через пять шагов уведет ожидающих счастья куда-нибудь в минус бесконечность..

[Таланов]

Вы используете МНК за границами его применения.

Это значит что Вы используете МНК в случае, когда не выполняются условия его применения. Отсюда большие отклонения найденных параметров от их истинных значений. Он годится только для одного распределения. Догадались для какого?

Аппроксимация как раз и придумана для того, чтобы глядеть в будущее

С прогнозированием у Вас ещё плачевнее. Метод максимального правдоподобия удалось наконец освоить?

[rusak]

Таланов, когда же Вы поймете, что ММП это надуманная математическая избыточность. Примерно такая же, как "наука" астрология. Просто нашелся какой-то явно недалекий человечек, жаждущий открытия, и протащил свой непонятный метод, как лапшу на уши. Еще раз: если есть добросовестно построенная гистограмма, то она есть единственно надежная опора. И задача математика - максимально точно описать эту опору, а не искажать какими-то правдоподобиями. И пусть даже эту ММП протаскивает сам Владимир Ильич Ульянов, - все равно нам иметь дело с липой.

[Таланов]

И задача математика - максимально точно описать эту опору, а не искажать какими-то правдоподобиями.

Вы не владеете методами аппроксимации функций распределения и следовательно до максимальной точности Вам ещё ой как далеко. Пользоваться МНК можно, но только взвешенным, которым увы, Вы тоже не владеете. Но это не так страшно. У Вас более серьёзный косяк. Вы не умеете проверять гипотезы о значимости параметров аппроксимирующей функции распределения и о соответствии её гипотетической функции.

[rusak]

Я записал более 70 лекций по математике на ютубе. Вводная лекция, надеюсь, многих заинтересует:

[Таланов]

Пример похож на легенду про изобретателя шахмат. Только посчитано как-то через заднее крыльцо. 20 сгибов это 1048576 листов или 2097152 страниц.
У меня Новый Завет на папиросной бумаге объёмом 1458 страниц имеет толщину 25 мм. Тогда книжка в 2097152 страниц будет высотой
36 метров, то есть почти в 10-ти этажный дом. Тоже впечатляет.

[rusak]

В математике есть много чудес. Например, лишь в 1904 году (моей бабушке было тогда уже 9 лет) появилась теорема Морлея. Звучит она так:
"Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами правильного равностороннего треугольника".
Наглядный рисунок:

Это - удивительно красивая теорема! Особенно, если рассматривать и внешние углы. Там среди точек пересечений 12 прямых существует аж 27 троек точек, образующих правильные треугольники!
Ну, а мои магические кладки - по сути такая жемчужина математики, что до сих пор некоторые проектировщики отказываются верить в правдивость результатов.

[rusak]

Сегодня отладил классную прогу на языке Yabasic.

Это кардиограмма в виде контура сердца и ее контур - моя Формула Любви. Про нее я делал лекцию, которую уже приводил в нашем форуме, но в другой теме. Ссылка:



Эта формула видна в тексте проги (выделенные строки):

rem ПОСТРОЕНИЕ КАРДИОГРАММЫ СЕРДЦА
dim x(10000),y(10000)
n=30
del=1/n
for x=-1.9 to -1-del step del
i=i+1
x(i)=x
y(i)=(-1)^i*0.15*ran()
next x
for x=-1 to 1 step del
i=i+1
x(i)=x
if (-1)^i>0 then
y(i)=5/6*(sqrt(abs(x))+sqrt(1-x^2)-1)
else
y(i)=5/6*(sqrt(abs(x))-sqrt(1-x^2)-1):fi
next x
for x=1+del to 1.9+del step del
i=i+1
x(i)=x
y(i)=(-1)^i*0.15*ran()
next x
print i
for j=1 to i
print x(j),y(j)
next j
rem ГРАФИКА
open window 1000,630
t=2.5
for d=-1 to 1
for j=1 to i-1
line 500+t*100*x(j)+d,380-(200+t*100*y(j)) to 500+t*100*x(j+1)+d,380-(200+t*100*y(j+1))
next j
next d

Идея сама не новая, я ее много раз видел в инете и в рекламах, но никто еще не удосужился дать рисунок в автоматизированном виде.
Итак, запускаю интеллектуальный продукт и получаем картинку:

[rusak]

Оптимизировал параметры: n принял равным 16 и боковые малоамплитудные зубчики опустил на 0. 4. Рисунок стал более выразительным. Это посоветовал коллега из Одессы, за что ему респект и снятие шляпы!

[rusak]

На конференции в Торонто меня попросили аппроксимировать функцию распределения довольно сложного вида (скорее всего - это сильная правосторонняя асимметрия):



Еще к задаче не приступал, так как был завален другими делами. Скоро попытаюсь выкроить время.

Вот это интересно! Нашлось аж пять структур формул, которые хорошо аппроксимируют приведенную случайность. Для экономии места приведу сразу пять рисунков на одном поле. Колокола - это плотности вероятности, а плавные возрастающие кривые - функции обеспеченности (они же - интегральные функции колоколов). Приведены также формулы и точность аппроксимации (сумма квадратов отклонений натурных и заданных точек):



Мой вывод таков: недостаточно полно даны начальные данные гистограммы. Поэтому и начальные формы колоколов заметно отличаются. Но с этим ничего не поделаешь - что задано, то и получено. Буду связываться с заказчиками и попрошу более подробную гистограмму в начальной стадии.

[Валентин Навескин]

Еще к задаче не приступал, так как был завален другими делами. Скоро попытаюсь выкроить время.

Сегодня День Рождения у моей супруги, Любови ...
P.S.
… Сердце/78 …
… (173-78-78)=17 … буква П/17 … знак «Пи»/27, …> глаз/27 врага/27…
… Два сердца/82 …
… (173-82)=91 … Бетховен/91-82=9 …> два/9 …
… Два/9, девять/97@79 … Иисус/79 …

[rusak]

Удивительная это вещь, электронная почта! Я послал свой запрос на более подробную гистограмму и уже через пару часов пришел ответ. Вот таблица значений (x, F):

0.1 0.017
0.2 0.079
0.3 0.175
0.4 0.286
0.5 0.395
0.6 0.491
0.7 0.573
0.8 0.641
0.9 0.696
1.0 0.741
1.1 0.778
1.2 0.808
1.3 0.834
1.4 0.854
1.5 0.872
1.6 0.887
2.0 0.927
2.4 0.951
2.8 0.965
3.2 0.974
3.6 0.980
4.0 0.984
4.4 0.987
4.8 0.990
5.2 0.992
5.6 0.993

Аппроксимация методом Монте Карло показала, что лучше всего подходит не третья формула, а вторая. Графики такие:



Сумма квадратов отклонений равна 0.000002536. То есть точки практически сливаются с кривой.

Послал в Торонто, получил английское спасибо.

Попросили дать текст программы, при помощи которой рассчитывал оптимальные значения четырех параметров. Она совсем короткая, но творит чудеса:

open #1,"dataF2.txt","r"
dim x(200),y(200)
n=26
nn=5000000
for i=1 to n
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
next i
a0=1:b0=1:c0=1:d0=1
s=10^50
z=0.001
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-.5))
b=b0*(1+z*(ran()-.5))
c=c0*(1+z*(ran()-.5))
d=d0*(1+z*(ran()-.5))
s1=0
for i=1 to n
x=x(i)
f=1-(a*x^b+1)^(-c*x^d)
s1=s1+(f-y(i))^2
next i
if s1<=s then print a,b,c,d,s1
s=s1:a0=a:b0=b:c0=c:d0=d
if s>0.00001 then z=.000001:fi
fi
next j

[rusak]

Палиндром - это синтез математики и русского языка. Вчера математическим путём мне удалось составить:

Ты поищи опыт

Думаю, что это шедевр. Но на новизну не проверял. Возможно, не я первый открыл.

Ещё один сочинился программно только что:

Мало гнома монголам!