Как правильно писать названия игр, в кавычках, с большой буквы? ⇐ Морфология

[vognen.lel]

«Кошки-мышки», «Казаки-разбойники», «Классики» и т.п. – правильно? Или другой вариант?

[Завада]

[vadim_i_z]

Обычно пишут со строчной и без кавычек: играли в футбол, в хоккей, в классики, в кошки-мышки.
А вот со словом "игра" без предлога можно и в кавычки взять: игра "казаки-разбойники" была очень популярна в первой половине XX века. Нередко здесь и с заглавной пишут, но "казаки-разбойники" все-таки не имя собственное.