Математические зарисовки ⇐ Другие темы о русской словесности и культуре

[rusak]

Таланов, у Вас явно нейроны перегрелись.
В моей формуле небольшая опечатка: первый параметр не 12700, а на порядок меньше. Например, при x=1:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+ ... here+x%3D1

Сопоставление с таблицей: даны точки теоретические (решение сложного диффура) и моя аппроксимация



Вас что, точность аппроксимации не устраивает? А ну-ка, покажите свое сопоставление!!! И формулу обязательно, которую я за миллиард евро продам!

[Таланов]

даны точки теоретические (решение сложного диффура) и моя аппроксимация

Сколько параметров имеет аппроксимирующая функция?

Какое значение экспериментальной функции на ваш взгляд представлено с большей точностью: 1700 или 29,5?

[rusak]

Попросили аппроксимировать сечение каньона. Вид кривой и координаты следующие:


x ....Z
0.0 152
1.0 152
2.0 151
3.0 134
3.5 98
4.0 46
4.5 10
5.0 0.4
5.5 0
6.0 0
6.5 0.6
7.0 12
7.5 50
8.0 103
8.5 137
9.0 149
9.5 151
10.0 152

Обязательное условие: кривая симметрична относительно некоторой вертикали.

На ночь запустил прогу, в которой 4.5 тыс. различных формул. После 12 часов Монте Карло ни одна из структур не подошла. Но стало ясно - должны быть тригонометрические функции. Буду продолжать...

[Таланов]

Попросили аппроксимировать сечение каньона. Вид кривой и координаты следующие:

Думаю что справитесь. А вот просить вас аппроксимировать функцию распределения без привлечения отфанарных функций и танцев с бубном, дело тухлое.

[rusak]

Таланов, мнение мошенника и труса как Вы, мало кого волнует.
Задача непростая, между прочим.

[Таланов]

мнение мошенника

Факты моего мошенничества не подтвердились ни разу. Скорее всего это плод вашей некомпетентности.

и труса как Вы

На все ваши вопросы я отвечал смело и прямо, а вы трусливо уходили от ответа на большинство из моих.
Вот последний пример:

Сколько параметров имеет аппроксимирующая функция?
Какое значение экспериментальной функции на ваш взгляд представлено с большей точностью: 1700 или 29,5?

Так кто из нас трус?

[rusak]

Таланов, какой же Вы наивный! Я дал формулу в Вольфрама, в ней 6 параметров. Вы же теперь и считать разучились!
А трус Вы, потому что формулы свои боитесь приводить.
Скорее всего их и нет у Вас. Жулики только брать умеют.
--------------------------------
Поскольку из-за Вас я получил два замечания от админа, то больше не отвечу ни на один вопрос. Вы для меня не существуете.
Что касается последней задачи, то выявил семь конкурирующих формул. Скорее всего потребуется неделя для обширных расчётов.

[Таланов]

Поскольку из-за Вас я получил два замечания от админа

Сдаются мне что замечания вы получили за неумение вести научную дискуссию.

больше не отвечу ни на один вопрос.

На прошлый вопрос я тоже не дождусь ответа?

Какое значение экспериментальной функции на ваш взгляд представлено с большей точностью: 1700 или 29,5?

[rusak]

Неожиданная помощь пришла издалека. Математик из Новой Зеландии Майкл Хейц (Michael Hayes) написал мне, что отталкиваясь от рядов Фурье получил формулу, которая с большой вероятностью позволит аппроксимировать заданные точки. Он выявил также и корень, то есть абсциссу вертикальной оси симметрии:



Надо будет проверить гипотезу коллеги...

[rusak]

С первого раза у меня ничего не получилось - возникли технические сложности при использовании метода Монте Карло. Я забросил предложенную новозеландцем аппроксимацию и варился в своих соках. Но суммы квадратов отклонений получались неудовлетворительными. Опять вернулся к предложенной формуле. Текст программы;

open #1,"KANION.txt","r"
open #2,"KANION0b.txt","w"
nn=2000000
input #1 n
dim xf(3000),F(3000)
print
for i=1 to n
input #1 xf(i),F(i)
print xf(i),F(i)
next i
rem end
print
print
s1=10^20
z=0.01
a0=1:b0=1:c0=0.1:d0=1:r0=152
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-0.5))
b=b0*(1+z*(ran()-0.5))
c=c0*(1+z*(ran()-0.5))
d=d0*(1+z*(ran()-0.5))
r=r0*(1+0.0001*z*(ran()-0.5))
s=0
for i=1 to n
x=xf(i)
y=r*abs(cos(a*abs(sin(c*x))^b))^d
s=s+(F(i)-y)^2
next i
if s<s1 then s1=s
print r,a,b,c,d,s
r0=r:a0=a:b0=b:c0=c:d0=d
rk=r:ak=a:bk=b:ck=c:dk=d
rem if s<1.82 then z=0.000001:fi
fi
next j
print
print #2, "Z = r*abs(cos(a*abs(sin(c*x))^b))^d"
print #2,
print #2, "r = ";:print #2, rk
print #2, "a = ";:print #2, ak
print #2, "b = ";:print #2, bk
print #2, "c = ";:print #2, ck
print #2, "d = ";:print #2, dk
for i=1 to n
Fk=r*abs(cos(ak*abs(sin(ck*xf(i)))^bk))^dk
print xf(i) using "###.#",F(i) using "#####.#",Fk using "#####.###",F(i)-Fk using "###.###"
print #2,
print #2,xf(i) using "###.#",F(i) using "#####.#",Fk using "#####.###",F(i)-Fk using "###.###"
next i
print #2
print #2,"X cp = ";:print #2, 1/ck*asin((pi/ak)^(1/bk))

И чудо свершилось! В результате получил решение:

Z = r*abs(cos(a*abs(sin(c*x))^b))^d
r = 152
a = 1.56787
b = 5.59698
c = 0.274317
d = 3.17175

X....Z......Z расч..Невязка
0.0 152.0 152.000 0.000
1.0 152.0 151.999 0.001
2.0 151.0 151.595 -0.595
3.0 134.0 134.499 -0.499
3.5 98.0 98.058 -0.058
4.0 46.0 45.736 0.264
4.5 10.0 9.837 0.163
5.0 0.4 0.530 -0.130
5.5 0.0 0.001 -0.001
6.0 0.0 0.002 -0.002
6.5 0.6 0.769 -0.169
7.0 12.0 11.919 0.081
7.5 50.0 50.535 -0.535
8.0 103.0 102.577 0.423
8.5 137.0 136.651 0.349
9.0 149.0 149.049 -0.049
9.5 151.0 151.682 -0.682
10.0 152.0 151.985 0.015

X cp = 5.72623 км

Сумма квадратов отклонений 1.81

[rusak]

Только что решил очень важную задачу по астрономии. После расскажу ее условие, а сейчас (чтобы не забыть), пишу аппроксимацию:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... 265688%3D0

Сотрудники кисловодской горной астрономической станции предложили мне аппроксимировать следующие 14 точек:
14
-4.0 -3.12765
-3.5 -3.39004
-3.0 -3.34583
-2.5 -3.17285
-2.0 -2.89582
-1.5 -2.50242
-1.0 -1.90404
-1.0 -0.78854
-1.5 -0.67134
-2.0 -0.75914
-2.5 -0.96330
-3.0 -1.27152
-3.5 -1.70850
-4.0 -2.45208

Это замкнутая кривая, больше всего похожая на эллипс.
Общая формула:
a*x^2+b*y^2+c*x*y+d*x+f*y+k=0
где рационально принять a=1
Но когда я составил программу аппроксимации методом Монте Карло

open #1,"ASTRONOM.txt","r"
open #2,"ASTRONOM013.txt","w"
nn=4500000
input #1 n
dim x(3000),y(3000)
print
for i=1 to n
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
next i
rem end
print
print
s1=10^20
z=0.000000001
b0=:c0=-1:d0=1:f0=1:k0=1
for j=1 to nn
a=1
b=b0*(1+z*(ran()-0.5))
c=c0*(1+z*(ran()-0.5))
d=d0*(1+z*(ran()-0.5))
f=f0*(1+z*(ran()-0.5))
k=k0*(1+z*(ran()-0.5))
s=0
for i=1 to n
z=a*x(i)^2+b*y(i)^2+c*x(i)*y(i)+d*x(i)+f*y(i)+k
s=s+abs(z)
next i
if s<s1 then s1=s
print a,b,c,d,f,k,s
b0=b:c0=c:d0=d:f0=f:k0=k
ak=1:bk=b:ck=c:dk=d:fk=f:kk=k
fi
next j
print #2, ak
print #2, bk using "###.###########"
print #2, ck using "###.###########"
print #2, dk using "###.###########"
print #2, fk using "###.###########"
print #2, kk using "###.###########"
print #2, s1 using "###.###########"

то столкнулся с неожиданным явлением: глобальный минимум не находился. Получались только локальные минимумы, причем с каждым запуском программы - самые разные локальные минимумы. После долгих раздумий понял, что желательно перегруппировать координаты точек следующим образом:

14
-4.0 -3.12765
-4.0 -2.45208
-3.5 -3.39004
-3.5 -1.70850
-3.0 -3.34583
-3.0 -1.27152
-2.5 -3.17285
-2.5 -0.96330
-2.0 -2.89582
-2.0 -0.75914
-1.5 -2.50242
-1.5 -0.67134
-1.0 -1.90404
-1.0 -0.78854
Удивительно, но только после этого мне удалось выйти на глобальный минимум и сумма отклонений (по абсолютной величине) оказалась равной
0.000101593

[rusak]

Такая траектория движения некоторого небесного тела:



PS. Параметры вычислил с точностью 11 знаков после запятой, как и просили астрономы.

[rusak]

Из московского университета сталей и сплавов задали красивую задачу по аппроксимации диаграммы растяжения стального стержня. В качестве примера привели такой вариант:



К задаче еще не приступал, даже не знаю - удастся ли справиться. Эту диаграмму знаю с институтской скамьи (1971 год), однажды пытался аппроксимировать, но без компа такое осуществить невозможно. И вот теперь вторая попытка. К сожалению, приступить смогу только после 27 сентября. Сейчас в командировке.

[rusak]

Задачу решил, но показывать тут не буду. Надо опубликовать все результаты в американском журнале.

[rusak]

Играл вчера с Вольфрамом Альфа и обнаружил случайно интересное тождество:



Можете убедиться сами:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... ..infty%29

Из этого следует вот что: простым преобразованием получим



https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... ..infty%29

а это приводит уже к совсем удивительному:

[rusak]

Вот ссылка для последнего тождества:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... +ln%284%29

или более убедительно:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %284%29-pi

[rusak]

ЗАДАЧА ГЕРОНА
Геро́н Александри́йский (др.-греч. Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς) — греческий математик и механик.
Время жизни отнесено ко второй половине I века н. э. на том основании, что он приводит в качестве примера лунное затмение 13 марта 62 г. н. э. Подробности его жизни неизвестны.
Герона относят к величайшим инженерам за всю историю человечества. Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства: вал со штырьками с намотанной на него верёвкой.
Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: «Метрика», «Пневматика», «Автоматопоэтика», «Механика» (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), «Катоптрика» (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака.
Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке). Одна из копий его книг, сделанная в XVI веке, содержится в Оксфордском Университете.
В средние века многие из его изобретений были отвергнуты, забыты или не представляли практического интереса.
Математика
«Метрика» (Μετρική) Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:
Целочисленные героновы треугольники.
Формулы для площадей правильных многоугольников.
Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
Правила численного решения квадратных уравнений.
Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней (см. Итерационная формула Герона).
В основном изложение в математических трудах Герона догматично: правила часто не выводятся, а только показываются на примерах.
Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.
Интереснейшая задача Герона выявилась из одного его геометрического примера. Ее алгебраическое представление дано в верхней части рисунка. Ряд математиков пытались параметризировать систему двух тождеств. Лет семь назад мне удалось найти наиболее простое решение, но просматривая работы других коллег, обнаружил, что математик под именем individ это же решение получил годом раньше. Более того, - он дал еще два решения. Его открытия смотрите внимательно и восхищайтесь красотой формул:

[rusak]

Эту задачу пытались решить на протяжении минимум 5 тыс лет. Однако ни Пифагор, ни Евклид, ни Архимед и даже Леонардо да Винчи с Рамануджаном так и не справились. Речь идет о кладке из мегалитов. И все потому, что непонятно было, как приступить к анализу структур из элементов, имеющих форму параллелепипеда?
А задача оказалась на уровне средней школы. Идею мне подал Рейнольдс, предложивший один из важнейших безразмерных критериев в гидравлике.
Мне удалось найти основной критерий кладки К , с помощью которого создалась целая теория простейших кладок. Вывод основного критерия кладки настолько прост, что умещается на пол странички:



Например, я задаю следующие параметры секции волнолома:
B=10.5 м ; G=100 т; L=19.2 м; h=2.28 м; плотность бетона 2.4 т/куб.м
При помощи программы, которую писал много лет, нашел идеальное решение -
магическую кладку, у которой все блоки имеют вес 100 тонн:



Тут уже окончательное решение, а сама математическая кладка:



Ее критерий: К = 33^2/(20*9)=6.05

Критерий же реальной кладки K = 10.54^2*2.28*2.4/100 = 6.08

Разница всего 0.5%.

PS
1). На рисунках даны компоновки двух смежных курсов в плане.
2). Средняя ширина швов между блоками равна 0.02 м.

[rusak]

На днях еду в Каир. Там будет конференция, посвященная пирамиде Менкаура. Пригласили ведущих специалистов по кладке из каменных блоков. В данной пирамиде есть довольно внушительный участок облицовки из блоков-параллелепипедов. В фильме ниже этот участок показан на 27 с.

Историков заинтересовал такой вопрос: могли ли древние строители иметь теорию проектирования размеров блоков? Или же все делалось спонтанно, на глазок? Специалистам в области строительства (в том числе и мне) была предложена тестовая задача: запроектировать наклонную кладку из бетонных блоков массой не более 130 тонн. Длина кладки в нижнем основании равнобочной ступенчатой трапеции 100 м, высота трапеции 10 м., длина верхнего основания 92 м. Желательно получить минимальное число типов блоков. Самый легкий блок не должен весить менее 87 тонн (2/3 от 130 т). Начал заниматься расчетами, уже наметились хорошие варианты, за 2-3 дня думаю управиться и сделать рукопись доклада с иллюстрациями. В данной теме нашего форума обязательно покажу основные результаты.

[rusak]

Всю ночь рассчитывал варианты кладок. Первые из них включали три типа блоков. Потом удалось сократить до двух. Уже составил текст, эскизы рисунков и вдруг неожиданно пришел к идеальному решению. Описывать все мои ходы, хорошие догадки и обидные заблуждения нет смысла. Покажу, как надо было бы производить анализ, будь я гением уровня Рамануджана.
Раз дан предельный вес бетонного блока (130 тонн), то следует прежде найти сторону куба, имеющего такой вес. Плотность бетона примем 2.4 т/куб. м. Тогда сторона куба a=(130/2.4)^(1/3) = 3.78 м. Блок в форме куба, очевидно, является наиболее прочным телом, воспринимающим большие сжимающие усилия. Поэтому в данном проекте желательно иметь блоки, не сильно отличающие от него. Интуитивно предположим, что все три размера блока не отличаются от 3.78 м на плюс-минус 0.5 м. То есть наименьший размер может быть 3.78 - 0.5 = 3.28 м, а наибольший размер 3.78 + 0.5 = 4.28 м. А теперь, внимание!
По условию задачи высота кладки равна 10 м. Следовательно, мы можем возвести три курса рядов высотой 3.33 м каждый. Этот размер как раз входит в интервал от 3.28 до 4.28 м. Один размер найден!
Рассуждаем дальше. Длина нижнего ряда по условию равна 100 м. И этот размер точно делится на 4 м . Длина блока тоже входит в нужный диапазон!
Но и этого мало: Размер 92 м для верхнего ряда также кратен 4 м. О чем это говорит? Это говорит о том, что задание можно выполнить даже из одного типа блоков! Его лицевая грань имеет габариты 3.33 х 4.00 м. Осталось лишь найти толщину блока t:
t=130/(3.33*4*2.4)=4.06 м. И этот размер входит в нужный интервал! Идеальное решение найдено!



Сейчас оформляю слайды и текст на английском. За пару дней, думаю все сделать.

[rusak]

Пришла на ум интереснейшая мысль. Я уже писал статью о магическом квадрате Рамануджана, в котором имеются 36 магических сумм, несмотря на то, что у него всего 16 ячеек. МК великого индуса, однако, нетрадиционный. Числа в нем любые, а не строго натуральный ряд от 1 до 16. А можно ли получить традиционный магический квадрат Рамануджана? После конференции в Египте обязательно займусь этой проблемой. Ведь МК порядка 4 с тридцатью шестью магическими суммами - это новый уровень в решении одной из древнейших математических задач!

[rusak]

О!!! Если единица находится в левом верхнем углу, то всего существует 80 указанных магических квадратов. Очень красивый метод одного из них дает квадрат, который я назвал своим именем. Впервые в мире, товарищи!



Это совершенно новый материал для тысяч презентаций, что любят школьники четырех-семи классов по всему миру. Такое уже было с моим идеальным магическим квадратом, построенным методом цепей Александрова. Копилка в математическую вечность пополняется.

[rusak]

Нет, вы поглядите! Оказывается, можно еще на 16 магических сумм увеличить!
Оказывается, единичка не должна стоять в левой верхней ячейке.
И симметричные траектории наблюдаются для нечетных и четных чисел.
Вот это поистине волшебный метод построения:

[rusak]

Окончательную точку ставлю! Это уже веками будут комментировать любители и ценители математики:

[rusak]

Удивительно, но в жизни бывают невероятные вещи. Например совмещаются совершенно разные явления, отдаленные друг от друга на десятки лет.
В 1967 году в домах нашего большого двора делали капитальный ремонт. Прямо на газоне стоял станок для гибки труб. Ну, и трубы лежали. Мне приглянулась шестиметровая труба диаметром два дюйма. Я давно хотел сделать из такой трубы миниатюрные гимнастические брусья для отработки стойки на одной руке. Этот элемент был в моей произвольной комбинации. Увидев двух молодых рабочих, предложил небольшую частную подработку. Прямо при них сделал эскиз изделия и пояснил, для чего оно нужно. Вот этот чудом сохранившийся листок:



Парни сказали, что все ясно, через пару часов заказ будет сделан. Договорились о цене, оказавшейся в точности равной известной советским людям бутылочке. Изделие, правда, вышло немного кривобоким. Это и немудрено: азов начертательной геометрии они явно не знали. Я же не стал капризничать, ибо представлял, как поправить дело при помощи березы на даче и рычагов. Именно поэтому данный эпизод на долгие годы врезался в мою память. О нем я рассказывал своим друзьям и подругам, а это еще более углубляло врезку. Фактически мне было все равно: представить, чему равно дважды два или же как можно испортить аксонометрию, если ее не изучать.
И вот наступил день 22 октября 2019 года. Точнее вечер нагрянул.